L'éolienne qui s'oriente face au vent : ce que l'énergie cinétique voit, et ce qu'elle ne voit pas

La stratégie. On compose les vecteurs rotation, on choisit la base dans laquelle la matrice d'inertie est diagonale, et l'on applique Kœnig. Puis on compare des énergies d'échelles très différentes, et l'on se demande quelles actions mécaniques la puissance voit.

1) Le vecteur rotation et l'énergie cinétique. Par composition, $\overrightarrow{\Omega }(2/R_0)=\overrightarrow{\Omega }(2/1)+\overrightarrow{\Omega }(1/0)=\omega {\overrightarrow{x}}_1+\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0$. La matrice d'inertie en $G$ est de révolution d'axe ${\overrightarrow{x}}_1$ : elle s'écrit $\mathrm{diag}(A,B,B)$ dans toute base orthonormée $({\overrightarrow{x}}_1,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, en particulier $({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}_0)$ : ${\overrightarrow{x}}_1$ et ${\overrightarrow{z}}_0$ sont principaux quel que soit $\theta$ (ce que garantit la symétrie ternaire ; un rotor bipale ne l'a pas). Donc $$[I(G,2)]\overrightarrow{\Omega }=A\omega {\overrightarrow{x}}_1+B\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0,\overrightarrow{\Omega }\cdot [I(G,2)]\overrightarrow{\Omega }=A{\omega }^2+B{\dot{\psi }}^2.$$ Le point $G$ décrit un cercle de rayon $d$ : $\overrightarrow{V}(G/R_0)=\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0\wedge d{\overrightarrow{x}}_1=d\dot{\psi }{\overrightarrow{y}}_1$. Par Kœnig, $$E_c(2/R_0)=\frac{1}{2}{m}_r{d}^2{\dot{\psi }}^2+\frac{1}{2}\left(A{\omega }^2+B{\dot{\psi }}^2\right).$$ Aucun terme en $\omega \dot{\psi }$ : il faudrait un produit d'inertie entre ${\overrightarrow{x}}_1$ et ${\overrightarrow{z}}_0$, nul puisque ces axes sont principaux. Ce n'est pas Kœnig qui l'interdit (il exclut seulement un terme croisé translation-rotation), c'est le choix des axes.

2) L'énergie cinétique des parties tournantes. $\omega =15\times \frac{2\pi }{60}=1,571\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, donc $$\frac{1}{2}A{\omega }^2=\frac{1}{2}\times 6,5\times 10^6\times 1,571^2\approx 8,02\mathrm{MJ}.$$ La génératrice tourne à ${\omega }_g=100\omega$ : $\frac{1}{2}{J}_g{\omega }_g^2=\frac{1}{2}\times 60\times 157,1^2\approx 0,74\mathrm{MJ}$. Écrite $\frac{1}{2}(100^2{J}_g){\omega }^2$, c'est l'énergie d'une inertie $100^2{J}_g=6,0\times 10^5\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ sur l'arbre lent : 9 % de celle du rotor, par l'effet du rapport au carré. Au total $8,76\mathrm{MJ}$, soit $\frac{8,76\times 10^6}{2\times 10^6}\approx 4,4\mathrm{s}$ de puissance nominale : exigence satisfaite, marge $9\%$ ; le rotor seul donnerait $4,0\mathrm{s}$, à la limite.

3) L'énergie de lacet. $\dot{\psi }=0,5\times \frac{\pi }{180}=8,73\times 10^{-3}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Les termes en ${\dot{\psi }}^2$ sont ceux de la nacelle, du porte-à-faux du rotor et de son inertie transversale : $$E_{\text{lacet}}=\frac{1}{2}{\dot{\psi }}^2\left(J_n+m_r{d}^2+B\right)=\frac{1}{2}\times (8,73\times 10^{-3}{)}^2\times (8\times 10^5+6,4\times 10^5+3,25\times 10^6)\approx 179\mathrm{J}.$$ Un rapport de $2\times 10^{-5}$ avec la rotation propre : le moteur d'orientation se dimensionne sur le moment aérodynamique de lacet et le frottement de la couronne, pas sur l'inertie.

4) Le moment gyroscopique ne travaille pas. $A\omega \dot{\psi }=6,5\times 10^6\times 1,571\times 8,73\times 10^{-3}\approx 89\mathrm{kN}\mathrm{m}$, $7\%$ du couple aérodynamique nominal ($P/\omega =1,27\mathrm{MN}\mathrm{m}$) : une charge sérieuse pour le palier. Sa puissance : $$\mathcal{P}=\overrightarrow{M}(G)\cdot \overrightarrow{\Omega }(2/R_0)=A\omega \dot{\psi }{\overrightarrow{y}}_1\cdot \left(\omega {\overrightarrow{x}}_1+\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0\right)=0,$$ et de même dans le mouvement relatif $2/1$. Ce moment est orthogonal au vecteur rotation : il tourne le moment cinétique sans changer l'énergie. Le TEC, qui ne voit que les actions qui travaillent, est aveugle à lui : pour dimensionner le palier, il faut le PFD (théorème du moment dynamique). C'est la règle de choix du cours : action de liaison, PFD ; loi de mouvement, TEC.

5) Le rotor incliné : un terme croisé apparaît. Avec ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\cos \tau {\overrightarrow{x}}_1+\sin \tau {\overrightarrow{z}}_0$ et ${\overrightarrow{z}}^{\prime }=-\sin \tau {\overrightarrow{x}}_1+\cos \tau {\overrightarrow{z}}_0$, la base principale est $({\overrightarrow{x}}^{\prime },{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}^{\prime })$ ; ${\overrightarrow{z}}_0=\sin \tau {\overrightarrow{x}}^{\prime }+\cos \tau {\overrightarrow{z}}^{\prime }$ n'est plus principal. Les composantes de $\overrightarrow{\Omega }=\omega {\overrightarrow{x}}^{\prime }+\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0$ y sont $(\omega +\dot{\psi }\sin \tau ,0,\dot{\psi }\cos \tau )$, d'où $$\frac{1}{2}\overrightarrow{\Omega }\cdot [I(G)]\overrightarrow{\Omega }=\frac{1}{2}A(\omega +\dot{\psi }\sin \tau {)}^2+\frac{1}{2}B{\dot{\psi }}^2{\cos }^2\tau =\frac{1}{2}A{\omega }^2+A\omega \dot{\psi }\sin \tau +\frac{1}{2}{\dot{\psi }}^2\left(A{\sin }^2\tau +B{\cos }^2\tau \right).$$ Le terme croisé vaut $A\omega \dot{\psi }\sin \tau =8,91\times 10^4\times \sin 5^{\circ }\approx 7,8\mathrm{kJ}$ (le même produit $A\omega \dot{\psi }$ que le moment gyroscopique), 43 fois l'énergie de lacet. Linéaire en $\dot{\psi }$, il augmente ou diminue l'énergie selon le sens du lacet ; le moteur d'orientation et la chaîne de conversion le fournissent ou le reçoivent. Négligeable devant les $8\mathrm{MJ}$ de rotation propre, il ne l'est plus devant l'énergie de lacet. Autre cas limite : un rotor bipale n'a pas de matrice de révolution ; son énergie de lacet dépend de l'angle des pales.

Ce que l'exercice installe. Pour appliquer Kœnig à un solide qui tourne autour de deux axes, on compose les vecteurs rotation, puis on cherche la base où la matrice d'inertie est diagonale : un terme croisé en $\omega \dot{\psi }$ n'existe que si les axes de rotation ne sont pas principaux. Une inertie placée derrière un multiplicateur compte avec le carré du rapport. Et une action mécanique orthogonale au vecteur rotation ne travaille pas : le TEC donne les lois de mouvement, jamais les efforts dans les paliers.