sciences industrielles (MP) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le rotor d'un drone : point de fonctionnement et constante de temps

Puissances et Théorèmes Énergétiques · C. Théorème de l'énergie cinétique ; rendement en régime permanent · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un quadricoptère de masse $m = 1, 4 kg$ est en vol stationnaire. Chacun de ses quatre groupes motopropulseurs est formé d'un moteur électrique dont le rotor, solidaire de l'hélice, constitue un solide 2 de moment d'inertie $J = 6, 0 \times 1 0^{- 5} kg m^{2}$ autour de son axe, en liaison pivot parfaite d'axe vertical avec le bras 1 du drone. L'air exerce sur l'hélice une poussée verticale $F = a ω^{2}$ et un couple résistant $C_{a} = b ω^{2}$ autour de l'axe, avec $a = 1, 2 \times 1 0^{- 5} N s^{2}$ et $b = 2, 0 \times 1 0^{- 7} N m s^{2}$ ( $ω$ : vitesse du rotor par rapport au bras). Modèle du moteur (fourni) : le couple exercé par le stator sur le rotor vaut $C_{m} = \frac{K}{R} (U - K ω)$ et le courant $I = C_{m} / K$ , avec $K = 0, 0104 N m A^{- 1}$ , $R = 0, 12 Ω$ , $U$ étant la tension moyenne imposée par le variateur. En vol stationnaire, le bras est immobile dans un repère galiléen. Exigence (illustrative) : pour que la stabilisation soit assez vive, la constante de temps de la vitesse d'un rotor autour du vol stationnaire doit être au plus $50 ms$ .

1) Écrire le théorème de l'énergie cinétique pour le rotor 2 : faire le bilan des puissances, en distinguant les actions extérieures et les actions mutuelles stator-rotor. Pourquoi la poussée ne travaille-t-elle pas ? Interpréter $C_{m} ω$ et $U I$ comme des produits d'une grandeur effort par une grandeur flux.

2) Déterminer le point de fonctionnement en vol stationnaire : $ω_{f}$ , couple, puissance mécanique par moteur, tension $U_{f}$ , courant, et le rapport de la puissance mécanique à la puissance électrique $U_{f} I$ .

3) On applique une petite variation de tension $Δ U$ autour de $U_{f}$ . Linéariser l'équation de mouvement, montrer que $Δ ω$ obéit à une équation du premier ordre et exprimer sa constante de temps $τ$ . Quelle part de $τ$ est due au moteur, quelle part à l'hélice ? Temps de réponse à $5 %$ ?

4) Conclure sur l'exigence. Que devient $τ$ avec une grande hélice de $13$ pouces, $J = 2, 0 \times 1 0^{- 4} kg m^{2}$ (les autres paramètres étant gardés) ?

5) Validation : une simulation numérique de l'équation non linéaire (schéma d'Euler explicite, pas $1 0^{- 5} s$ ) donne, pour l'échelon de tension qui augmente la poussée de $5 %$ , une réponse à $95 %$ en $0, 1605 s$ , et depuis l'arrêt (échelon de $0$ à $U_{f}$ ), $0, 166 s$ . Qu'en conclure sur le modèle linéarisé ?

Corrigé

La stratégie. Le TEC sur le seul rotor donne directement l'équation de mouvement (pivot parfait : son action disparaît). L'égalité du couple moteur et du couple résistant donne le point de fonctionnement ; la linéarisation autour de ce point donne un premier ordre, dont la réponse à un échelon est connue.

1) Le bilan des puissances. $E_{c} (2/ R_{0}) = \frac{1}{2} J ω^{2}$ . Puissances : action mutuelle stator-rotor (puissance intérieure du moteur si l'on isole {bras, rotor}), $C_{m} ω$ ; pivot parfait et pesanteur, $0$ ; couple de l'air, $- C_{a} ω$ ; poussée, $0$ , car elle s'applique sur l'axe, immobile en vol stationnaire. Le TEC donne $J ω ω ˙ = C_{m} ω - b ω^{3} ⟹ J ω ˙ = \frac{K}{R} (U - K ω) - b ω^{2} .$ La poussée porte le drone sans travailler : toute la puissance part dans l'air par le couple aérodynamique. La puissance est le produit d'un effort par un flux : $C_{m}$ par $ω$ côté mécanique, $U$ par $I$ côté électrique ; le modèle fourni, $C_{m} = K I$ et $U = R I + K ω$ , traduit la conversion.

2) Le point de fonctionnement. Chaque rotor porte le quart du poids : $a ω_{f}^{2} = \frac{m g}{4} = 3, 43 N$ , d'où $ω_{f} = \frac{3 , 43}{1 , 2 \times 1 0 ^{- 5}} = 535 rad s^{- 1}$ , soit $5110 tr/min$ . En régime permanent, $ω ˙ = 0$ : $C_{m} = b ω_{f}^{2} = 2, 0 \times 1 0^{- 7} \times 53 5^{2} = 0, 0572 N m$ , et la puissance mécanique vaut $C_{m} ω_{f} = 30, 6 W$ par moteur, $122 W$ pour le drone ( $87 W$ par kilogramme : l'ordre de grandeur des multirotors). Courant $I = C_{m} / K = 5, 50 A$ ; tension $U_{f} = R I + K ω_{f} = 0, 66 + 5, 56 = 6, 22 V$ ; puissance électrique $U_{f} I = 34, 2 W$ , rapport $\frac{30 , 6}{34 , 2} = 0, 89$ , la différence étant la puissance dissipée par effet Joule, $R I^{2} = 3, 6 W$ .

Le point de fonctionnement est stable : au-delà de $ω_{f}$ , le couple résistant dépasse le couple moteur et le rotor ralentit ; en deçà, il accélère.

3) Linéarisation et constante de temps. On pose $ω = ω_{f} + Δ ω$ , $U = U_{f} + Δ U$ , et l'on développe au premier ordre $b ω^{2} \approx b ω_{f}^{2} + 2 b ω_{f} Δ ω$ ; les termes d'équilibre se simplifient : $J \frac{d Δ ω}{d t} = \frac{K}{R} Δ U - (\frac{K ^{2}}{R} + 2 b ω_{f}) Δ ω, τ = \frac{J}{\frac{K ^{2}}{R} + 2 b ω _{f}} .$ Une équation du premier ordre : la réponse à un échelon $Δ U$ est l'exponentielle connue $Δ ω (t) = Δ ω_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ . Numériquement, $\frac{K ^{2}}{R} = 9, 01 \times 1 0^{- 4}$ et $2 b ω_{f} = 2, 14 \times 1 0^{- 4} N m s$ : $τ = \frac{6 , 0 \times 1 0 ^{- 5}}{1 , 115 \times 1 0 ^{- 3}} = 53, 8 ms$ . Le moteur (sa force contre-électromotrice, qui agit comme un frottement visqueux $K^{2} / R$ ) en porte $81 %$ , l'hélice $19 %$ . Temps de réponse à $5 %$ : $3 τ = 0, 161 s$ .

4) L'écart au cahier des charges. $τ = 53, 8 ms$ dépasse les $50 ms$ de $8 %$ : exigence non satisfaite, de peu. Leviers : diminuer $J$ (hélice plus légère) ou augmenter $K^{2} / R$ (autre moteur). Avec $J = 2, 0 \times 1 0^{- 4}$ , $τ = 0, 18 s$ , trois fois trop lent (et le $b$ plus grand d'une grande hélice n'y change pas l'ordre de grandeur) : d'où le pas variable ou les rotors plus nombreux des gros drones.

5) Validation. Pour $+ 5 %$ de poussée ( $+ 2, 5 %$ de vitesse), $0, 1605 s$ simulés contre $3 τ = 0, 161 s$ : écart de $0, 5 %$ , le modèle linéarisé est validé pour de petites variations. Depuis l'arrêt, $0, 166 s$ : la non-linéarité $b ω^{2}$ se voit à peine, parce que le terme électrique, linéaire, domine.

Ce que l'exercice installe. Le TEC sur un rotor donne l'équation de mouvement en une ligne ; l'égalité couple moteur et couple résistant donne le point de fonctionnement, la linéarisation autour de lui un premier ordre de constante de temps $J$ divisée par la somme des « frottements visqueux équivalents ». La puissance est toujours un produit effort par flux ( $C ω$ , $U I$ ). Et une simulation valide un modèle linéarisé avant qu'on s'y fie.

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