Rendement d'un réducteur : régime permanent, puis démarrage

Puissances et Théorèmes Énergétiques · niveau 2

Énoncé

Un moteur (inertie $J_{e}$ sur l'arbre d'entrée, couple $C_{m}$ ) entraîne, par un réducteur de rapport $r = ω_{e} / ω_{s} > 1$ et de rendement direct $η$ mesuré en régime permanent, une charge d'inertie $J_{s}$ qui oppose le couple résistant $C_{r}$ .

En régime permanent, relier $C_{m}$ et $C_{r}$ .
On fait l'hypothèse, à déclarer, que le rendement s'applique encore pendant le démarrage. Établir l'équation du mouvement de l'arbre d'entrée.
Même question en régime récepteur (la charge entraîne le moteur, par exemple une charge qu'on descend).

Corrigé

Régime permanent : $C_{r} ω_{s} = η C_{m} ω_{e}$ , donc $C_{m} = \frac{C _{r}}{η r}$ .
Le TEC sur l'arbre d'entrée : $J_{e} ω_{e} ω ˙_{e} = C_{m} ω_{e} - P_{e}$ , où $P_{e}$ est la puissance que l'arbre transmet au réducteur. Par hypothèse, la sortie en reçoit $η P_{e}$ , et le TEC sur la charge donne $J_{s} ω_{s} ω ˙_{s} = η P_{e} - C_{r} ω_{s}$ . En éliminant $P_{e}$ , avec $ω_{s} = ω_{e} / r$ : $(J_{e} + \frac{J _{s}}{η r ^{2}}) θ ¨_{e} = C_{m} - \frac{C _{r}}{η r}$ . L'inertie de la charge est ramenée divisée par $η r^{2}$ : le rendement « alourdit » la charge vue du moteur.
En régime récepteur, la puissance va de la charge vers le moteur, et le moteur reçoit $η$ fois ce que cède la charge : $C_{m} ω_{e} - J_{e} ω_{e} ω ˙_{e} = η (J_{s} ω_{s} ω ˙_{s} + C_{r} ω_{s})$ , soit $(J_{e} + \frac{η J _{s}}{r ^{2}}) θ ¨_{e} = C_{m} - \frac{η C _{r}}{r}$ : le rendement change de côté.