Table élévatrice : une vis qui retient sa charge a un rendement inférieur à un demi

La stratégie. Le développement du filet ramène la liaison hélicoïdale à un plan incliné : l'équilibre du patin donne l'effort moteur, le rapport des puissances donne le rendement. Le frottement de Coulomb incline la réaction de ${\phi }^{\prime }$ par rapport à la normale, contre le glissement ; c'est cette inclinaison qui décide de la réversibilité.

1) Le rendement direct. En montée, l'écrou glisse vers le haut du plan ; la réaction $\overrightarrow{R}$ est inclinée de ${\phi }^{\prime }$ sur la normale, contre le glissement : elle fait l'angle $\alpha +{\phi }^{\prime }$ avec la verticale. À vitesse constante, $\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}$, d'où $T=F\tan (\alpha +{\phi }^{\prime })$. Avec $v_t=r_m\omega$ la vitesse tangentielle et $V=v_t\tan \alpha$ : $${\mathcal{P}}_{\text{moteur}}=C\omega =T{v}_t,{\mathcal{P}}_{\text{utile}}=FV=F{v}_t\tan \alpha .$$ En régime permanent, l'énergie cinétique est constante : le TEC sur {vis, écrou, table} donne $0={\mathcal{P}}_{\text{moteur}}-{\mathcal{P}}_{\text{utile}}+\mathcal{P}(\text{vis}\leftrightarrow \text{eˊcrou})$, donc $$\mathcal{P}(\text{vis}\leftrightarrow \text{eˊcrou})=-F{v}_t\left[\tan (\alpha +{\phi }^{\prime })-\tan \alpha \right]<0,{\eta }_d=\frac{{\mathcal{P}}_{\text{utile}}}{{\mathcal{P}}_{\text{moteur}}}=\frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +{\phi }^{\prime })}.$$

2) Valeurs et réversibilité. $\tan \alpha =\frac{5}{\pi \times 21,5}=0,0740$, $\alpha =4,23^{\circ }$ ; $f^{\prime }=\frac{0,12}{\cos 15^{\circ }}=0,124$, ${\phi }^{\prime }=7,08^{\circ }$ ; ${\eta }_d=\frac{0,0740}{\tan 11,32^{\circ }}=0,370$. Moteur arrêté, seules $F$ et $\overrightarrow{R}$ agissent : $\overrightarrow{R}$ est verticale, et l'écrou ne glisse que si la verticale sort du cône de frottement, c'est-à-dire si $\alpha >{\phi }^{\prime }$. Ici $\alpha <{\phi }^{\prime }$ : la vis est irréversible, la table tient seule. Pour une vis réversible, le frottement retourné donne $T=F\tan (\alpha -{\phi }^{\prime })$ et ${\eta }_i=\frac{\tan (\alpha -{\phi }^{\prime })}{\tan \alpha }$.

3) Le résultat : une vis irréversible a un rendement inférieur à un demi. Si $\alpha \le {\phi }^{\prime }$, alors $\alpha +{\phi }^{\prime }\ge 2\alpha$ et, la tangente étant croissante, $${\eta }_d=\frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +{\phi }^{\prime })}\le \frac{\tan \alpha }{\tan 2\alpha }=\frac{1-{\tan }^2\alpha }{2}<\frac{1}{2}.$$ Ici la borne vaut $0,497$ et la vis fait $0,370$ : l'irréversibilité coûte plus de la moitié de la puissance. Le résultat vaut pour tout mécanisme dont les pertes sont un frottement de même intensité dans les deux sens.

4) Le moteur. La vis tourne à $n=V/p=5\mathrm{tr}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $300tr/min$, $\omega =31,4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Puissance utile $FV=5000\times 0,025=125\mathrm{W}$ ; puissance moteur $\frac{125}{0,370}\approx 338\mathrm{W}$ ; couple $C=\frac{338}{31,4}\approx 10,8\mathrm{N}\mathrm{m}$ (on vérifie : $C=F\tan (\alpha +{\phi }^{\prime })r_m=5000\times 0,200\times 0,01075$). Le moteur de $0,37\mathrm{kW}$ convient, avec une marge de $9\%$ : les deux exigences sont satisfaites.

5) La vis à billes. ${\phi }^{\prime }=0,29^{\circ }$ : ${\eta }_d=0,936$, et, $\alpha >{\phi }^{\prime }$, elle est réversible, ${\eta }_i=0,932$. Puissance moteur $134\mathrm{W}$, 2,5 fois moins ; mais pour retenir la charge, il faut en permanence $C_{\text{ret}}=F\frac{p}{2\pi }{\eta }_i=5000\times 7,96\times 10^{-4}\times 0,932=3,71\mathrm{N}\mathrm{m}$, donc un frein. Le choix dépend du cycle : une table qui monte quelques fois par jour garde la vis trapézoïdale (simple, sûre, sans frein) ; un axe qui travaille en continu prend la vis à billes et paie le frein. Maintien sans énergie et efficacité tirent en sens contraire, et la question 3 dit qu'on ne peut pas avoir les deux.

6) Cas limites. Si $f\to 0$, ${\eta }_d\to 1$ et la vis est réversible pour tout $\alpha >0$. Sous vibrations, le frottement apparent chute (micro-glissements) : une vis « irréversible » à $\alpha$ voisin de ${\phi }^{\prime }$ peut descendre lentement ; d'où des freins de sécurité dès que la charge est au-dessus de personnes.

Ce que l'exercice installe. Le rendement en régime permanent se lit sur un bilan de puissances (le TEC à énergie cinétique constante) ; le frottement de Coulomb incline la réaction de ${\phi }^{\prime }$ contre le glissement, et la comparaison de $\alpha$ et ${\phi }^{\prime }$ décide de la réversibilité. Le résultat à retenir : irréversible implique ${\eta }_d<\frac{1}{2}$. Et le choix d'un constituant se justifie par le cahier des charges complet (maintien, puissance, cycle), pas par le seul rendement.