Complément (hors programme) — le correcteur à retard de phase

Systèmes asservis : correction · niveau 2

Énoncé

Un système de poursuite a pour FTBO non corrigée $H (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 05 p )}$ et doit suivre une rampe unitaire avec un écart de traînage $ε_{v} \leq 0, 02$ . Déterminer $K_{v}$ ; étudier la stabilité ; dimensionner un correcteur $C (p) = \frac{1 + T p}{1 + b T p}$ ( $b > 1$ ) pour $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ .

Corrigé

Précision. Classe 1 : $ε_{v} = 1/ K_{v} \leq 0, 02$ , donc $K_{v} = 50 s^{- 1}$ . Stabilité. La phase vaut $- 18 0^{\circ}$ à $ω_{180} = 1/ 0, 2 \times 0, 05 = 10 rad s^{- 1}$ , où $∣ H ∣ = \frac{50}{10 5 1 , 25} = 2, 0$ : $M_{G} = - 6, 0 dB$ , la boucle est instable.

Nouvelle coupure. On la place là où la phase de $H$ vaut $- 18 0^{\circ} + 4 5^{\circ} + 5^{\circ} = - 13 0^{\circ}$ (les $5^{\circ}$ réservent le retard que la cellule apportera encore à la coupure) : $arctan (0, 2 ω) + arctan (0, 05 ω) = 4 0^{\circ}$ , résolu par dichotomie : $ω_{c} = 3, 05 rad s^{- 1}$ . Atténuation. $∣ H (j 3, 05)∣ = 22, 8 dB$ : la cellule doit l'annuler, $20 lo g b = 22, 8 dB$ , $b = 13, 9$ . Constante de temps. On place $1/ T$ une décade sous la coupure : $T = \frac{10}{ω _{c}} = 3, 3 s$ , $b T = 45, 5 s$ . Vérification : la cellule retarde la phase de $5, 3^{\circ}$ à la coupure, et $M_{φ} = 44, 6^{\circ}$ (une réserve de $6^{\circ}$ donnerait $4 5^{\circ}$ ).

Le gain statique de $C$ vaut $1$ : $K_{v} = 50 s^{- 1}$ et l'exigence de traînage sont conservés. Un correcteur proportionnel donnant la même coupure aurait dû diviser le gain par $b = 13, 9$ , et le traînage aurait été $0, 28$ . Le retard de phase divise l'écart par $b$ à marge égale ; il ne l'annule pas (seule une action intégrale le fait).