sciences industrielles (MP) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le laminoir à froid : le pompage révèle un retard pur

Systèmes asservis : correction · C. Limites de validité du modèle linéaire · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un laminoir à froid réduit l'épaisseur d'une bande d'acier pour l'automobile. Un vérin hydraulique de serrage fixe l'écartement des cylindres de travail ; l'épaisseur de la bande est mesurée par une jauge à rayons X, qu'on ne peut pas placer dans l'emprise : elle est à $d = 1, 5 m$ en aval. La bande défile à $v = 10 m s^{- 1}$ en régime. Le bureau d'études a modélisé la chaîne « commande du vérin vers épaisseur », en écarts et en grandeurs normalisées (retour unitaire), par un premier ordre : $\frac{E ( p )}{U ( p )} = \frac{K _{0}}{1 + τ p}, K_{0} = 0, 6, τ inconnue (quelques dizaines de millisecondes) .$

Essai de pompage (donné). Avec un correcteur proportionnel, on augmente progressivement le gain : l'épaisseur se met à osciller sans s'amortir pour $K_{u} = 2, 15$ , avec une période $T_{u} = 0, 384 s$ .

Cahier des charges : écart statique nul ; marge de phase $M_{φ} \geq 6 0^{\circ}$ et marge de gain $M_{G} \geq 6 dB$ (exigences de marges) ; $t_{5%} \leq 1 s$ ; stabilité conservée à l'engagement de la bande, qui se fait à $2 m s^{- 1}$ .

Donnée (simulation) : avec le correcteur de la question 4, la réponse indicielle a un dépassement de $5, 6 %$ et $t_{5%} = 0, 74 s$ .

1) Avec le modèle du bureau d'études et un correcteur proportionnel, la boucle peut-elle pomper ? Conclure sur l'écart entre modèle et essai.

2) On enrichit le modèle d'un retard pur : $\frac{E ( p )}{U ( p )} = \frac{K _{0} e ^{- θ p}}{1 + τ p}$ . Donner le gain et la phase de $e^{- θ j ω}$ . Écrire les deux conditions qui caractérisent le pompage, puis en déduire $τ$ et $θ$ . Interpréter $θ$ .

3) On règle un correcteur proportionnel pour $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ seulement. Écrire l'équation qui donne $ω_{c}$ ; la résoudre par dichotomie sur $[0; 20] rad s^{- 1}$ (six itérations). En déduire $K_{p}$ et l'écart statique. Conclure.

4) On prend un correcteur proportionnel intégral $C (p) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p}$ avec $T_{i} = τ$ . Écrire la FTBO. Établir $ω_{c} θ = \frac{π}{2} - M_{φ}, ω_{180} θ = \frac{π}{2}, M_{G} = \frac{π /2}{π /2 - M _{φ}} (en valeur naturelle) .$ Régler $K_{p}$ pour $M_{φ} = 6 0^{\circ}$ ; calculer $ω_{c}$ et $M_{G}$ . Que dit la première relation de la bande passante accessible ? Quelle longueur de bande sort de la tolérance après un saut de consigne ?

5) À l'engagement, la bande défile à $2 m s^{- 1}$ . Que valent $θ$ et la marge de gain avec le réglage de la question 4 ? Comment le gain doit-il dépendre de la vitesse de la bande ?

Corrigé

La stratégie. Le modèle et l'essai se contredisent : on cherche le phénomène manquant, on l'identifie par les deux conditions du pompage, on vérifie son sens physique, puis on règle sur le modèle enrichi.

1) Le modèle ne peut pas pomper. La phase de $\frac{K _{0} K _{p}}{1 + τ j ω}$ vaut $- arctan (τ ω)$ , comprise entre $0$ et $- 9 0^{\circ}$ : elle n'atteint jamais $- 18 0^{\circ}$ , la marge de gain est infinie et aucun gain ne fait osciller la boucle. Or l'essai pompe : l'écart n'est pas un défaut de paramètre, c'est un phénomène manquant, qui retarde la phase vers $16 rad s^{- 1}$ .

2) Le retard pur. $e^{- θ j ω}$ a un module égal à $1$ (gain $0 dB$ à toute pulsation) et une phase $- ω θ$ (en radians), qui décroît sans limite. Au pompage, la boucle est à la limite de stabilité : à la pulsation $ω_{u} = \frac{2 π}{T _{u}} = \frac{2 π}{0 , 384} = 16, 4 rad s^{- 1}$ , $\frac{K _{0} K _{u}}{1 + τ ^{2} ω _{u}^{2}} = 1 et - arctan (τ ω_{u}) - θ ω_{u} = - π .$ La condition sur le module ne contient que $τ$ : $1 + τ^{2} ω_{u}^{2} = 0, 6 \times 2, 15 = 1, 29$ , $τ ω_{u} = 1, 2 9^{2} - 1 = 0, 819$ , et $τ = \frac{0 , 819}{16 , 4} = 0, 050 s$ . La condition sur la phase donne alors $θ = \frac{π - arctan ( 0 , 819 )}{ω _{u}} = \frac{3 , 142 - 0 , 686}{16 , 4} = 0, 150 s$ . Or $\frac{d}{v} = \frac{1 , 5}{10} = 0, 15 s$ : le retard est le temps de transport de la bande entre l'emprise et la jauge. Le modèle enrichi est validé, et il prédit comment $θ$ varie avec la vitesse.

3) Le proportionnel, et la dichotomie. La coupure vérifie $- arctan (τ ω_{c}) - θ ω_{c} = - 13 5^{\circ}$ , soit $g (ω) = arctan (0, 05 ω) + 0, 15 ω - \frac{3 π}{4} = 0$ , équation transcendante. $g$ est croissante, $g (0) = - 2, 36 < 0$ et $g (20) = + 1, 43 > 0$ . Dichotomie :

itération	intervalle	milieu $m$	$g (m)$
1	$[0; 20]$	$10$	$- 0, 39$
2	$[10; 20]$	$15$	$+ 0, 54$
3	$[10; 15]$	$12, 5$	$+ 0, 08$
4	$[10; 12, 5]$	$11, 25$	$- 0, 16$
5	$[11, 25; 12, 5]$	$11, 875$	$- 0, 04$
6	$[11, 875; 12, 5]$	$12, 19$	$+ 0, 02$

Après six itérations, $ω_{c} \in [11, 875; 12, 19]$ ; en poursuivant, $ω_{c} = 12, 1 rad s^{- 1}$ (l'intervalle est divisé par deux à chaque pas : après $n$ pas, sa largeur vaut $20/ 2^{n} rad s^{- 1}$ ). Alors $K_{p} = \frac{1 + ( 0 , 05 \times 12 , 1 ) ^{2}}{0 , 6} = \frac{1 , 168}{0 , 6} = 1, 95$ et l'écart statique (classe 0) vaut $\frac{1}{1 + 0 , 6 \times 1 , 95} = 46 %$ : inutilisable. Le retard interdit le gain fort qui donnerait la précision au proportionnel.

4) Le proportionnel intégral, et la borne de bande passante. Avec $T_{i} = τ$ , le zéro du correcteur compense le pôle du vérin : $FTBO (p) = K_{p} \frac{1 + τ p}{τ p} \cdot \frac{K _{0} e ^{- θ p}}{1 + τ p} = \frac{K _{0} K _{p} e ^{- θ p}}{τ p} .$ Gain : $\frac{K _{0} K _{p}}{τ ω}$ , donc $ω_{c} = \frac{K _{0} K _{p}}{τ}$ ; phase : $- \frac{π}{2} - ω θ$ . À la coupure, $M_{φ} = π - \frac{π}{2} - ω_{c} θ$ , d'où $ω_{c} θ = \frac{π}{2} - M_{φ}$ . La phase vaut $- π$ pour $ω_{180} θ = \frac{π}{2}$ , et $M_{G} = \frac{1}{∣ FTBO ( j ω _{180} )∣} = \frac{τ ω _{180}}{K _{0} K _{p}} = \frac{ω _{180}}{ω _{c}} = \frac{π /2}{π /2 - M _{φ}}$ . Pour $M_{φ} = 6 0^{\circ} = π /3$ : $ω_{c} = \frac{π /6}{0 , 15} = 3, 49 rad s^{- 1}, K_{p} = \frac{τ ω _{c}}{K _{0}} = \frac{0 , 05 \times 3 , 49}{0 , 6} = 0, 291, M_{G} = 3 (9, 5 dB) .$ Les deux marges sont tenues, l'écart statique est nul (classe 1). La première relation est une borne : à marge imposée, $ω_{c} = \frac{π /2 - M _{φ}}{θ}$ , et toujours $ω_{c} < \frac{π}{2 θ}$ . Le retard borne la bande passante : la boucle ne peut pas être plus rapide que le transport qu'elle attend. Avec $t_{5%} = 0, 74 s$ (donnée), $10 \times 0, 74 = 7, 4 m$ de bande sortent de la tolérance après chaque saut de consigne.

5) L'engagement de la bande. À $2 m s^{- 1}$ , $θ = \frac{1 , 5}{2} = 0, 75 s$ . Le gain de la FTBO ne dépend pas de $θ$ : $ω_{c} = 3, 49 rad s^{- 1}$ reste. Mais $ω_{180} = \frac{π}{2 \times 0 , 75} = 2, 09 rad s^{- 1} < ω_{c}$ : $M_{G} = \frac{2 , 09}{3 , 49} = 0, 60$ , soit $- 4, 4 dB$ . La boucle est instable à l'engagement. Garder les marges, c'est garder $ω_{c} θ$ constant : $ω_{c} \propto 1/ θ \propto v$ , donc $K_{p} = \frac{τ ω _{c}}{K _{0}} \propto v$ . Le gain doit suivre la vitesse de la bande : $K_{p} = 0, 291 \times \frac{v}{10 m s ^{- 1}}$ , soit $0, 058$ à l'engagement.

Exigence	P ( $4 5^{\circ}$ )	PI à $10$ m/s	PI à $2$ m/s
écart statique nul	$46 %$ : non	oui	instable
marges $6 0^{\circ}$ et $6$ dB	non	$6 0^{\circ}$ , $9, 5$ dB : oui	$- 4, 4$ dB : non
$t_{5%} \leq 1$ s	—	$0, 74$ s : oui	—

Ce que l'exercice installe. Un écart qualitatif entre modèle et essai (le modèle ne peut pas pomper, l'essai pompe) signale un phénomène manquant ; on enrichit le modèle, on identifie ses paramètres par l'essai (module et phase au pompage) et l'on valide par le sens physique ( $θ = d / v$ ). Un retard pur a un gain unité et une phase $- ω θ$ sans limite : il borne la bande passante, $ω_{c} θ = π /2 - M_{φ}$ . Et une équation transcendante se résout par dichotomie, à précision maîtrisée.

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