sciences industrielles (MP) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Problème : axe numérique de fraiseuse à grande vitesse, l'avance de phase et son prix

Systèmes asservis : correction · D. Correcteur à avance de phase · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'axe $X$ d'un centre d'usinage à grande vitesse (UGV) déplace la table porte-pièce : un moteur synchrone entraîne, par un accouplement rigide, une vis à billes guidée en rotation par deux paliers ; l'écrou est lié à la table, guidée en translation par rapport au bâti. La position de la table est asservie ; la boucle de vitesse interne est fermée.

La fonction de transfert en boucle ouverte non corrigée s'écrit $H (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + τ _{m} p ) ( 1 + \frac{2 ξ _{r}}{ω _{r}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{r}^{2}} )},$ $τ_{m} = 20 ms, ω_{r} = 350 rad s^{- 1}, ξ_{r} = 0, 08,$ où le second ordre peu amorti représente le premier mode de résonance de la transmission (raideur de la vis, masse de la table) ; le gain de vitesse $K_{v}$ (en $s^{- 1}$ ) est réglable. On envisage un correcteur à avance de phase de gain statique unité, $C (p) = \frac{1 + a T p}{1 + T p}$ , $a > 1$ .

Cahier des charges : erreur de traînage $\leq 5 mm$ à la vitesse d'avance de $30 m/min$ ; marge de phase $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ (exigence de marge) ; marge de gain $M_{G} \geq 6 dB$ , y compris sur la résonance ; pulsation de coupure $ω_{c} \geq 75 rad s^{- 1}$ .

Données : diagramme de Bode réel de $H$ pour $K_{v} = 100 s^{- 1}$ (ci-dessous) ; sur les machines industrielles, le gain de vitesse se situe entre $1$ et $10 (m/min) / mm$ ; pour le correcteur retenu à la question 4, la phase de $C (j ω) H (j ω)$ vaut $- 18 0^{\circ}$ à $ω_{180} = 281 rad s^{- 1}$ ; la simulation de la boucle corrigée donne, pour un échelon de position, $t_{5%} = 56 ms$ et un dépassement de $22 %$ .

1) Précision. Exprimer l'erreur de traînage en fonction de $K_{v}$ . Quel gain de vitesse minimal faut-il ? L'exprimer en $(m/min) / mm$ et le comparer à la pratique industrielle. Pourquoi le correcteur doit-il avoir un gain statique unité ?

2) Diagramme de Bode de $H$ ( $K_{v} = 100 s^{- 1}$ ). Décrire les asymptotes ; calculer la hauteur du pic de résonance et le gain au sommet du pic. On lit $ω_{c} \approx 64$ et $ω_{180} \approx 240 rad s^{- 1}$ : calculer $M_{φ}$ et $M_{G}$ . Quelles exigences ne sont pas tenues ?

3) Le proportionnel échoue. Vérifier que la phase de $H$ vaut $- 13 5^{\circ}$ à $ω = 47, 8 rad s^{- 1}$ . Quel gain $K_{v}$ donnerait $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ ? Quelle erreur de traînage, quelle coupure ?

4) Synthèse de l'avance de phase. Établir que la phase de $C$ est maximale à $ω_{m} = \frac{1}{T a}$ , avec $sin φ_{m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ et $∣ C (j ω_{m})∣ = a$ . Appliquer la méthode avec une réserve $Δ φ = 1 0^{\circ}$ : $a$ , nouvelle coupure, $T$ et $a T$ . Vérifier $M_{φ}$ , $ω_{c}$ et la précision. À quoi sert $Δ φ$ ? Montrer que $C$ est un correcteur proportionnel dérivé filtré.

5) Le prix en hautes fréquences. De combien le correcteur relève-t-il le gain au-delà de $1/ T$ et à $ω_{r}$ ? Que deviennent le pic et la marge de gain ? a) On vise $M_{φ} = 6 0^{\circ}$ (même réserve) : calculer $a$ ; on donne alors $M_{G} = 4, 7 dB$ . b) Une pièce lourde abaisse la pulsation de résonance à $250 rad s^{- 1}$ (on admet que $τ_{m}$ ne change pas) : avec le correcteur de la question 4, on donne $M_{G} = 4, 2 dB$ , contre $10, 4 dB$ sans correcteur. Conclure, et citer des remèdes.

6) Performances et conclusion. Exploiter les données de simulation. Dresser le tableau exigence / valeur / écart, et énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. La précision fixe le gain de vitesse ; la cellule d'avance apporte la phase manquante, centrée sur la nouvelle coupure, sans changer le gain en basses fréquences. Puis on paie : elle relève le gain en hautes fréquences, là où se trouve la résonance.

1) La précision fixe $K_{v}$ . La FTBO est de classe 1 : pour une consigne en rampe de vitesse $V$ , l'erreur de traînage vaut $\frac{V}{K _{v}}$ . Avec $V = 30 m/min = 0, 5 m s^{- 1}$ et $5 mm$ exigés : $K_{v} \geq \frac{0 , 5}{5 \times 1 0 ^{- 3}} = 100 s^{- 1}$ . En unités d'atelier, $K_{v} = \frac{30 m/min}{5 mm} = 6 (m/min) / mm$ , dans le haut de la plage industrielle. Le correcteur doit avoir un gain statique unité, $C (0) = 1$ , pour ne pas modifier $K_{v} = p \to 0 lim p C (p) H (p)$ , que la précision a fixé.

2) Le diagramme de $H$ . Asymptotes : $- 20 dB/d e ˊ cade$ jusqu'à $1/ τ_{m} = 50$ , $- 40$ de $50$ à $350$ , $- 80$ au-delà ; la phase va de $- 9 0^{\circ}$ à $- 36 0^{\circ}$ . Pic de résonance : à $ω_{r}$ , le second ordre vaut $\frac{1}{2 ξ _{r}} = 6, 25$ , soit $+ 15, 9 dB$ au-dessus de l'asymptote. Sans le second ordre, $∣ H (j ω_{r})∣ = \frac{100}{350 1 + ( 0 , 02 \times 350 ) ^{2}}$ , soit $20 lo g \frac{100}{350} - 10 lo g 50 = - 10, 9 - 17, 0 = - 27, 9 dB$ ; le sommet du pic est donc à $- 27, 9 + 15, 9 = - 12, 0 dB$ , sous $0 dB$ .

Marge de phase : à $ω_{c} = 63, 8 rad s^{- 1}$ , la phase vaut $- 9 0^{\circ} - arctan (1, 28) - arctan \frac{2 ξ _{r} u}{1 - u ^{2}}$ avec $u = ω_{c} / ω_{r} = 0, 182$ , soit $- 9 0^{\circ} - 51, 9^{\circ} - 1, 7^{\circ} = - 143, 6^{\circ}$ : $M_{φ} = 36, 4^{\circ}$ . Sans le mode de résonance, on trouverait $38, 7^{\circ}$ : il coûte $2, 3^{\circ}$ . Marge de gain : à $ω_{180} = 240 rad s^{- 1}$ , $u = 0, 686$ , la phase vaut $- 9 0^{\circ} - 78, 2^{\circ} - 11, 7^{\circ} = - 18 0^{\circ}$ ; le gain vaut $20 lo g \frac{100}{240} - 10 lo g (1 + 4, 8^{2}) - 10 lo g ((1 - u^{2})^{2} + (2 ξ_{r} u)^{2}) = - 7, 6 - 13, 8 + 5, 3 = - 16, 1 dB$ : $M_{G} = 16, 1 dB$ . La phase franchit $- 18 0^{\circ}$ avant la résonance. Exigences non tenues : $M_{φ} = 36, 4^{\circ} < 4 5^{\circ}$ et $ω_{c} = 63, 8 < 75 rad s^{- 1}$ .

3) Le proportionnel échoue. À $47, 8 rad s^{- 1}$ : $- 9 0^{\circ} - arctan (0, 956) - 1, 3^{\circ} = - 9 0^{\circ} - 43, 7^{\circ} - 1, 3^{\circ} = - 135, 0^{\circ}$ . Pour que ce soit la coupure, il faut $K_{v} = \frac{1}{∣ H ( j 47 , 8 ) / K _{v} ∣} = 47, 8 \times 1 + 0, 95 6^{2} \times 0, 982 = 65 s^{- 1}$ . Erreur de traînage $\frac{0 , 5}{65} = 7, 7 mm > 5 mm$ , et $ω_{c} = 47, 8 < 75 rad s^{- 1}$ : baisser le gain achète la marge au prix de la précision et de la rapidité.

4) La synthèse. La cellule. $ar g C (j ω) = arctan (a T ω) - arctan (T ω)$ ; en posant $x = T ω$ , la dérivée de $arctan (a x) - arctan x$ s'annule pour $\frac{a}{1 + a ^{2} x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , soit $x = \frac{1}{a}$ : $ω_{m} = \frac{1}{T a}$ , moyenne géométrique de $\frac{1}{a T}$ et $\frac{1}{T}$ . Alors $tan φ_{m a x} = \frac{a - 1/ a}{2} = \frac{a - 1}{2 a}$ , d'où $sin φ_{m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ , et $∣ C (j ω_{m})∣ = \frac{1 + a}{1 + 1/ a} = a$ , soit $+ 10 lo g a$ en décibels.

La méthode.

Gain fixé par la précision : $K_{v} = 100 s^{- 1}$ (question 1).
Phase à apporter : $φ_{m a x} = M_{φ, vis e ˊ e} - M_{φ, actuelle} + Δ φ = 4 5^{\circ} - 36, 4^{\circ} + 1 0^{\circ} = 18, 6^{\circ}$ .
Coefficient : $a = \frac{1 + sin φ _{m a x}}{1 - sin φ _{m a x}} = \frac{1 , 320}{0 , 681} = 1, 94$ .
Nouvelle coupure : la cellule relève le gain de $10 lo g a = 2, 9 dB$ à $ω_{m}$ ; pour que $ω_{m}$ soit la coupure de $C H$ , on la place là où $∣ H ∣ = - 10 lo g a = - 2, 9 dB$ (lecture du Bode, confirmée par le calcul) : $ω_{m} = 78, 6 rad s^{- 1}$ .
Constantes de temps : $T = \frac{1}{ω _{m} a} = \frac{1}{78 , 6 \times 1 , 393} = 9, 13 ms$ , $a T = 17, 7 ms$ .

Vérification. À $78, 6 rad s^{- 1}$ , la phase de $H$ vaut $- 9 0^{\circ} - arctan (1, 57) - 2, 2^{\circ} = - 149, 7^{\circ}$ ; la cellule apporte $+ 18, 6^{\circ}$ : $- 131, 1^{\circ}$ , donc $M_{φ} = 48, 9^{\circ} \geq 4 5^{\circ}$ ; $ω_{c} = 78, 6 \geq 75 rad s^{- 1}$ ; $C (0) = 1$ , donc $K_{v} = 100 s^{- 1}$ et le traînage reste $5 mm$ . La réserve $Δ φ$ compense la phase que $H$ perd entre l'ancienne coupure et la nouvelle : $- 143, 6^{\circ}$ à $63, 8$ , $- 149, 7^{\circ}$ à $78, 6 rad s^{- 1}$ , soit $6, 1^{\circ}$ . Avec $Δ φ = 5^{\circ}$ , on obtiendrait $M_{φ} = 45, 5^{\circ}$ , à la limite. Lien avec le proportionnel dérivé : $C (p) = \frac{1 + T _{d} p}{1 + \frac{T _{d}}{N} p}$ avec $T_{d} = a T = 17, 7 ms$ et $N = a$ : c'est une action dérivée filtrée, de gain borné à $a$ en hautes fréquences.

5) Le prix. Au-delà de $1/ T = 110 rad s^{- 1}$ , le gain de la cellule tend vers $a$ , soit $+ 20 lo g a = + 5, 8 dB$ ; à $ω_{r}$ , $∣ C (j ω_{r})∣ = \frac{1 + ( 0 , 0177 \times 350 ) ^{2}}{1 + ( 0 , 00913 \times 350 ) ^{2}} = \frac{6 , 28}{3 , 35} = 1, 88$ , soit $+ 5, 5 dB$ . Le sommet du pic passe de $- 12, 0$ à $- 6, 5 dB$ . À $ω_{180} = 281 rad s^{- 1}$ (la cellule y apporte encore $+ 9, 9^{\circ}$ ), $∣ H ∣ = - 15, 6 dB$ et $∣ C ∣ = + 5, 3 dB$ : $M_{G} = 10, 3 dB \geq 6 dB$ . On a payé $5, 8 dB$ de marge de gain pour $12, 5^{\circ}$ de marge de phase et $23 %$ de bande passante.

a) Pour $M_{φ} = 6 0^{\circ}$ : $φ_{m a x} = 6 0^{\circ} - 36, 4^{\circ} + 1 0^{\circ} = 33, 6^{\circ}$ , $a = \frac{1 + sin 33 , 6 ^{\circ}}{1 - sin 33 , 6 ^{\circ}} = 3, 48$ , soit $+ 10, 8 dB$ en hautes fréquences : la marge de gain tombe à $4, 7 dB < 6 dB$ . L'avance utilisable est bornée par la résonance : plus on demande de phase, plus $a$ croît, et plus le pic remonte vers $0 dB$ .

b) Une pièce lourde abaisse $ω_{r}$ (pour un mode masse-ressort, $ω_{r} = k / m$ : doubler presque la masse divise $ω_{r}$ par $2$ environ, de $350$ à $250 rad s^{- 1}$ ). Le pic se rapproche de la coupure, là où le gain est plus fort ; sans correcteur, $M_{G} = 10, 4 dB$ ; avec le correcteur, qui relève le gain dans cette zone, $M_{G} = 4, 2 dB < 6 dB$ : le réglage n'est plus robuste. Remèdes : rigidifier la transmission (ou moteur linéaire, sans vis), réduire $Δ φ$ et accepter une coupure plus basse, ou atténuer la résonance par un filtre réjecteur (hors programme, cité).

6) Performances et conclusion. La simulation donne $t_{5%} = 56 ms$ et un dépassement de $22 %$ sur un échelon. Ce dépassement est sans objet en usinage : la commande numérique n'envoie que des profils à accélération bornée, et le cahier des charges exigeait une marge, pas un dépassement.

Exigence	P, $K_{v} = 65$	avance, $a = 1, 94$	avance, pièce lourde
traînage $\leq 5$ mm	$7, 7$ mm : non	$5, 0$ mm : oui	$5, 0$ mm : oui
$M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$	$4 5^{\circ}$ : oui	$48, 9^{\circ}$ : oui	—
$ω_{c} \geq 75 rad s^{- 1}$	$47, 8$ : non	$78, 6$ : oui	—
$M_{G} \geq 6$ dB	oui	$10, 3$ dB : oui	$4, 2$ dB : non

Le résultat obtenu — le choix d'un correcteur à avance de phase par la marge de phase. Le gain statique est fixé par la précision ( $K_{v} = V / tra ı ˆ nage$ ), et le correcteur $C (p) = \frac{1 + a T p}{1 + T p}$ , de gain statique unité, ne le modifie pas. La phase à apporter vaut $φ_{m a x} = M_{φ, vis e ˊ e} - M_{φ, actuelle} + Δ φ$ , d'où $a = \frac{1 + sin φ _{m a x}}{1 - sin φ _{m a x}}$ ; la nouvelle coupure $ω_{m}$ est la pulsation où la FTBO non corrigée (avec son gain) vaut $- 10 lo g a$ , et $T = \frac{1}{ω _{m} a}$ . Le prix est un gain multiplié par $a$ en hautes fréquences : quand un mode de résonance est proche, la marge de gain borne l'avance de phase utilisable. Pour l'axe UGV : $a = 1, 94$ , $T = 9, 1 ms$ , $M_{φ} = 48, 9^{\circ}$ , $ω_{c} = 78, 6 rad s^{- 1}$ , $M_{G} = 10, 3 dB$ .

Ce que le problème installe. La méthode de réglage d'une avance de phase dans l'ordre : la précision (le gain), la marge (la phase, centrée sur la nouvelle coupure), puis la vérification de toutes les exigences, y compris celles que la cellule dégrade. Lire un Bode avec une résonance : pic de $1/ (2 ξ_{r})$ , phase qui plonge de $18 0^{\circ}$ . Et juger la robustesse : une variation de charge déplace la résonance, et la marge de gain avec elle.

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