sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Ascenseur : un profil de vitesse en trapèze, sa transformée et la distance parcourue

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · B. Signaux types d'entrée · niveau 2

Énoncé

La commande d'un ascenseur résidentiel impose à la cabine un profil de vitesse en trapèze : accélération constante $a = 0, 8 m/ s^{2}$ jusqu'à $v_{m a x} = 1, 0 m/s$ , palier, puis décélération $- a$ jusqu'à l'arrêt. Exigences : accélération inférieure ou égale à $1, 0 m/ s^{2}$ (confort) ; trajet d'un étage ( $3, 0 m$ ) en moins de $5 s$ .

1) Écrire $v (t)$ comme une somme de rampes retardées. On note $T_{1}$ la durée de l'accélération et $T_{2}$ l'instant où commence la décélération.

2) En déduire $V (p)$ , et montrer qu'elle se factorise en $V (p) = \frac{a}{p ^{2}} (1 - e^{- T_{1} p}) (1 - e^{- T_{2} p})$ .

3) Vérifier par le théorème de la valeur finale que la cabine s'arrête. Montrer que la distance parcourue vaut $x_{\infty} = a T_{1} T_{2}$ , sans calculer $x (t)$ .

4) Déterminer $T_{1}$ et $T_{2}$ pour un étage, puis la durée du trajet. Conclure sur les deux exigences. Que deviennent $T_{2}$ et la durée pour deux étages ?

5) Par le théorème de la valeur initiale appliqué à l'accélération, que vaut l'accélération à $t = 0^{+}$ ? Qu'est-ce que le modèle ne dit pas sur le confort ? Cas limite : un déplacement de $0, 5 m$ (mise à niveau au palier) ; la cabine atteint-elle $v_{m a x}$ ?

Corrigé

La stratégie. On ne cherche pas $x (t)$ : on construit $V (p)$ avec la linéarité et le théorème du retard, puis on lit directement dans le domaine de Laplace ce que l'on veut (vitesse finale, distance, accélération initiale) par les théorèmes des valeurs initiale et finale.

1) Décomposition. La rampe $a t u (t)$ démarre l'accélération ; à $T_{1}$ , une rampe opposée $- a (t - T_{1}) u (t - T_{1})$ l'annule (palier) ; à $T_{2}$ , la rampe $- a (t - T_{2}) u (t - T_{2})$ lance la décélération ; à $T_{1} + T_{2}$ , la rampe $+ a (t - T_{1} - T_{2}) u (t - T_{1} - T_{2})$ l'arrête. Donc $v (t) = a [t u (t) - (t - T_{1}) u (t - T_{1}) - (t - T_{2}) u (t - T_{2}) + (t - T_{1} - T_{2}) u (t - T_{1} - T_{2})] .$ La décélération dure bien $T_{1}$ (même pente), et le palier vaut $a T_{1} = v_{m a x}$ .

2) Transformée. Par linéarité et théorème du retard, $V (p) = \frac{a}{p ^{2}} (1 - e^{- T_{1} p} - e^{- T_{2} p} + e^{- (T_{1} + T_{2}) p}) = \frac{a}{p ^{2}} (1 - e^{- T_{1} p}) (1 - e^{- T_{2} p}) .$

3) Valeurs finales. $v (+ \infty) = p \to 0 lim p V (p)$ : au voisinage de $0$ , $1 - e^{- T p} \approx T p$ , donc $p V (p) \approx \frac{a T _{1} T _{2} p ^{2}}{p} \to 0$ : la cabine s'arrête. La position est l'intégrale de la vitesse : $X (p) = V (p) / p$ , et $x_{\infty} = p \to 0 lim p X (p) = p \to 0 lim V (p) = p \to 0 lim \frac{a ( T _{1} p ) ( T _{2} p )}{p ^{2}} = a T_{1} T_{2} .$ Interprétation : c'est l'aire du trapèze, $v_{m a x} \times T_{2}$ .

4) Un étage. $T_{1} = v_{m a x} / a = 1, 25 s$ ; $x_{\infty} = 3, 0 m$ impose $T_{2} = \frac{3 , 0}{0 , 8 \times 1 , 25} = 3, 0 s$ (palier de $1, 75 s$ ) ; durée $T_{1} + T_{2} = 4, 25 s$ . Accélération $0, 8 \leq 1, 0 m/ s^{2}$ et durée $4, 25 \leq 5 s$ : conforme sur les deux exigences (marge de $15 %$ sur la durée). Pour deux étages ( $6, 0 m$ ), $T_{2} = 6, 0 s$ et la durée passe à $7, 25 s$ : seul le palier s'allonge.

5) Valeur initiale et cas limite. L'accélération $γ = \frac{d v}{d t}$ a pour transformée $p V (p)$ ; $γ (0^{+}) = p \to + \infty lim p \cdot p V (p) = p \to + \infty lim a (1 - e^{- T_{1} p}) (1 - e^{- T_{2} p}) = a$ : l'accélération saute de $0$ à $0, 8 m/ s^{2}$ instantanément. Ce saut (un « à-coup » infini) est ce que les passagers ressentent ; les ascenseurs réels arrondissent les angles du trapèze pour limiter la variation d'accélération, une exigence que ce modèle ne sait pas exprimer. Pour $0, 5 m$ : si la cabine ne fait qu'accélérer puis freiner, $T_{2} = T_{1}$ et $a T_{1}^{2} = 0, 5$ , soit $T_{1} = 0, 79 s$ et une vitesse maximale $a T_{1} = 0, 63 m/s < 1, 0 m/s$ : le profil devient un triangle, de durée $1, 58 s$ . Le même $V (p)$ le décrit, avec $T_{2} = T_{1}$ .

Ce que l'exercice installe. Une entrée réelle se décompose en signaux canoniques décalés ; la linéarité et le théorème du retard donnent sa transformée sans calcul d'intégrale. Les théorèmes des valeurs initiale et finale répondent aux questions d'ingénieur (s'arrête-t-on ? où ? quel saut au départ ?) sans revenir au temps ; une grandeur intégrée se traite en divisant par $p$ , une grandeur dérivée en multipliant par $p$ .

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