sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Capteur de pression de combustion : un zéro à l'origine

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · D. Modélisation multi-physique : du composant à la fonction de transfert · niveau 2

Énoncé

Pour mesurer la pression dans un cylindre de moteur, on utilise un capteur piézoélectrique : il délivre une charge électrique proportionnelle à la pression, $q (t) = K_{q} P (t)$ avec $K_{q} = - 20 pC/bar$ . Cette charge est convertie en tension par un amplificateur de charge : un amplificateur opérationnel idéal dont la contre-réaction est un condensateur $C_{f} = 1 nF$ en parallèle avec une résistance $R_{f} = 1 GΩ$ ; le courant du capteur, $i (t) = \frac{d q}{d t}$ , traverse entièrement la contre-réaction, et $U_{s} (p) = - Z_{f} (p) I (p)$ .

Exigence : à $3000 tr/min$ , la pression reste quasiment constante pendant des paliers de $T = 20 ms$ ; on veut les mesurer avec une erreur inférieure ou égale à $1 %$ .

1) Calculer l'impédance $Z_{f} (p)$ de la contre-réaction et montrer que $H (p) = \frac{U _{s} ( p )}{P ( p )} = G_{\infty} \frac{τ p}{1 + τ p}$ . Exprimer $G_{\infty}$ et $τ$ ; les calculer. Donner l'ordre, la classe, les pôles et les zéros.

2) Par le théorème de la valeur finale, que mesure le capteur pour une pression constante ? Quelle tension correspond à $200 bar$ aux fréquences élevées ?

3) Montrer que la réponse à un échelon de pression $P_{0}$ est $u_{s} (t) = G_{\infty} P_{0} e^{- t / τ}$ (on reconnaîtra la transformée d'une exponentielle). Quelle erreur commet-on en fin de palier de $20 ms$ ? Conclure sur l'exigence.

4) Quelle valeur minimale de $R_{f}$ faut-il ? On dispose de résistances de $2, 2 GΩ$ : vérifier.

5) Cas limite : que devient $H (p)$ quand $R_{f} \to \infty$ ? Pourquoi ne supprime-t-on pas tout simplement $R_{f}$ ?

Corrigé

La stratégie. On écrit chaque élément de la chaîne de mesure en Laplace (capteur, puis amplificateur), on lit la forme de la fonction de transfert, et l'on traduit l'exigence (erreur sur un palier) en contrainte sur la constante de temps.

1) La fonction de transfert. Le condensateur a pour impédance $\frac{1}{C _{f} p}$ ; en parallèle avec $R_{f}$ : $Z_{f} (p) = \frac{R _{f} \cdot \frac{1}{C _{f} p}}{R _{f} + \frac{1}{C _{f} p}} = \frac{R _{f}}{1 + R _{f} C _{f} p} .$ Le courant vaut $I (p) = p K_{q} P (p)$ . Donc $H (p) = - \frac{R _{f} K _{q} p}{1 + R _{f} C _{f} p} = - \frac{K _{q}}{C _{f}} \frac{τ p}{1 + τ p}, τ = R_{f} C_{f}, G_{\infty} = - \frac{K _{q}}{C _{f}} .$ Numériquement $τ = 1 0^{9} \times 1 0^{- 9} = 1, 0 s$ et $G_{\infty} = \frac{20 \times 1 0 ^{- 12}}{1 0 ^{- 9}} = 0, 020 V/bar$ . Ordre $1$ ; un zéro en $p = 0$ (classe $- 1$ : un dérivateur en série avec un premier ordre) ; un pôle en $- 1/ τ = - 1 s^{- 1}$ .

2) Mesure statique. Pour $P (t) = P_{0} u (t)$ : $u_{s} (+ \infty) = p \to 0 lim p H (p) \frac{P _{0}}{p} = H (0) P_{0} = 0$ . Le capteur ne mesure pas une pression constante : le zéro à l'origine bloque toute composante continue (le courant $d q / d t$ est nul quand la pression ne varie pas). Aux fréquences élevées, $H \to G_{\infty}$ : $200 bar$ donnent $4, 0 V$ , bien dans la plage d'un amplificateur alimenté en $\pm 15 V$ .

3) Réponse à un palier. $U_{s} (p) = G_{\infty} \frac{τ p}{1 + τ p} \frac{P _{0}}{p} = G_{\infty} P_{0} \frac{τ}{1 + τ p} = G_{\infty} P_{0} \frac{1}{p + 1/ τ},$ transformée de $G_{\infty} P_{0} e^{- t / τ}$ (table des conventions). La tension saute à $G_{\infty} P_{0}$ puis décroît. En fin de palier, l'erreur relative vaut $1 - e^{- T / τ} = 1 - e^{- 0, 02} = 2, 0 %$ : non conforme (exigence $1 %$ ).

4) Dimensionnement. Il faut $1 - e^{- T / τ} \leq 0, 01$ , soit $τ \geq \frac{- T}{ln 0 , 99} = \frac{0 , 020}{0 , 01005} = 1, 99 s$ , donc $R_{f} \geq 1, 99 GΩ$ (à $C_{f}$ inchangé, pour garder le gain). Avec $2, 2 GΩ$ : $τ = 2, 2 s$ , erreur $1 - e^{- 0, 02/2, 2} = 0, 91 %$ : conforme, marge de $9 %$ sur l'exigence.

5) Cas limite. Pour $R_{f} \to \infty$ , $H (p) \to G_{\infty}$ : un gain pur, qui mesurerait aussi le statique (c'est l'intégration du courant par le condensateur seul : la charge est recopiée). Mais le moindre courant de fuite (de l'amplificateur, de l'isolant) serait alors intégré sans fin : la sortie dériverait jusqu'à saturer. $R_{f}$ décharge lentement $C_{f}$ ; on choisit $τ$ assez grand pour le phénomène mesuré, assez petit pour tuer la dérive. Pour mesurer une pression statique, on change de capteur : un capteur piézorésistif (une résistance qui varie avec la déformation) ou capacitif n'a pas de zéro à l'origine.

Ce que l'exercice installe. Une chaîne de mesure se met en équation élément par élément (capteur, conditionneur) et se lit sur sa fonction de transfert. Un zéro à l'origine interdit toute mesure statique (valeur finale nulle) ; une exigence d'erreur sur une durée se traduit en contrainte sur la constante de temps. Chaque composant d'un modèle a une raison d'être que le cas limite révèle.

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