sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Chauffe-eau de 200 litres : modèle thermique, valeurs initiale et finale

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · C. La transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Un chauffe-eau électrique contient $200 L$ d'eau (capacité thermique massique $4180 J k g^{- 1} K^{- 1}$ ), chauffés par une résistance de puissance $P_{0} = 2, 4 kW$ commandée par un thermostat réglé à $60^{\circ} C$ . L'isolant est modélisé par une résistance thermique $R = 0, 6 K/W$ entre l'eau et la pièce. On note $θ (t)$ l'écart de température entre l'eau et la pièce, et $P (t)$ la puissance de chauffe ; l'eau froide arrive à $15^{\circ} C$ , la pièce est à $15^{\circ} C$ . Exigence : chauffer le ballon de $15$ à $60^{\circ} C$ pendant les $8 h$ creuses de la nuit.

1) Écrire le bilan de puissance de l'eau, puis l'équation différentielle et la fonction de transfert $H (p) = Θ (p) / P (p)$ . Donner son ordre, sa classe, son gain et sa constante de temps.

2) On applique $P (t) = P_{0} u (t)$ . Calculer, par le théorème de la valeur initiale, la vitesse d'échauffement initiale en $K/h$ .

3) Calculer, par le théorème de la valeur finale, l'écart de température final prédit par le modèle. Commenter.

4) Estimer la durée de chauffe de $15$ à $60^{\circ} C$ de deux façons : avec la pente initiale, puis avec la réponse indicielle du premier ordre. Conclure sur l'exigence.

5) Une fois l'eau à $60^{\circ} C$ , quelle puissance moyenne le thermostat doit-il fournir, et quelle énergie par jour ? Quelle fraction du temps la résistance est-elle alimentée ?

Corrigé

La stratégie. On traduit la physique en équation différentielle (un bilan), puis en fonction de transfert ; on en tire les deux comportements limites par les théorèmes, et l'on confronte la valeur finale au domaine de validité du modèle : un thermostat n'est pas linéaire.

1) Le modèle. Capacité thermique $C = 200 \times 4180 = 8, 36 \times 1 0^{5} J/K$ . Pendant $d t$ , l'énergie reçue moins l'énergie perdue à travers l'isolant augmente l'énergie interne : $C \frac{d θ}{d t} = P (t) - \frac{θ ( t )}{R}$ , soit $R C \frac{d θ}{d t} + θ (t) = R P (t) ⟹ H (p) = \frac{Θ ( p )}{P ( p )} = \frac{R}{1 + R C p} .$ Premier ordre, classe $0$ , gain $K = R = 0, 6 K/W$ , constante de temps $τ = R C = 0, 6 \times 8, 36 \times 1 0^{5} = 5, 02 \times 1 0^{5} s = 139 h$ , près de six jours.

2) Valeur initiale. La vitesse d'échauffement a pour transformée $p Θ (p)$ ; avec $Θ (p) = H (p) \frac{P _{0}}{p}$ , $\frac{d θ}{d t} (0^{+}) = p \to + \infty lim p \cdot p H (p) \frac{P _{0}}{p} = p \to + \infty lim \frac{R p P _{0}}{1 + R C p} = \frac{P _{0}}{C} = 2, 87 \times 1 0^{- 3} K/s = 10, 3 K/h .$ Au départ, aucune perte : toute la puissance chauffe l'eau.

3) Valeur finale. $θ (+ \infty) = p \to 0 lim p H (p) \frac{P _{0}}{p} = R P_{0} = 0, 6 \times 2400 = 1440 K$ . Le calcul est juste, la conclusion absurde : l'eau bout à $100^{\circ} C$ bien avant, et surtout le thermostat coupe à $60^{\circ} C$ . Le modèle linéaire ne vaut que tant que le thermostat n'agit pas ; une valeur finale tirée d'un modèle n'a de sens que si le système reste dans son domaine de validité jusqu'au bout.

4) Durée de chauffe. Il faut $Δ θ = 45 K$ . À la pente initiale : $45/10, 3 = 4, 35 h$ . Avec la réponse indicielle $θ (t) = R P_{0} (1 - e^{- t / τ})$ : $t = - τ ln (1 - \frac{45}{1 440}) = 5, 02 \times 1 0^{5} \times 0, 0317 = 1, 59 \times 1 0^{4} s = 4, 42 h .$ L'écart entre les deux ( $1, 6 %$ ) vient des pertes, faibles tant que $θ ≪ R P_{0}$ : $45 K$ ne représentent que $3 %$ de $1440 K$ . La chauffe dure $4, 4 h$ pour $8 h$ disponibles : conforme, marge $45 %$ .

5) Maintien. À $60^{\circ} C$ , $θ = 45 K$ et les pertes valent $45/0, 6 = 75 W$ , soit $75 \times 24 = 1, 8 kWh$ par jour (l'ordre de grandeur des fiches de chauffe-eau). Le thermostat alimente la résistance $75/2 400 = 3, 1 %$ du temps : environ $45 min$ par jour, par périodes courtes.

Ce que l'exercice installe. Un modèle physique (bilan) se traduit en fonction de transfert dont on lit ordre, classe, gain et constante de temps. Les théorèmes aux limites donnent les comportements extrêmes sans revenir au temps : la valeur initiale de la dérivée (multiplier encore par $p$ ), la valeur finale. Une valeur finale se critique : si le système sort du domaine du modèle (thermostat, ébullition), elle ne dit rien du réel.

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