sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Complément — Linéarisation de la vidange d'un réservoir

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

La linéarisation autour d'un point de fonctionnement est au programme de deuxième année. Un réservoir de section $S$ se vide par un orifice de section $s$ selon la loi de Torricelli : $S \frac{d h}{d t} = q_{e} (t) - s 2 g h (t)$ .

Déterminer le débit d'entrée $Q_{e 0}$ qui maintient la hauteur $h_{0}$ .
Linéariser l'équation pour de petites variations $Δ h$ et $Δ q_{e}$ .
En déduire la fonction de transfert $Δ H (p) /Δ Q_{e} (p)$ .

Corrigé

1. À l'équilibre, $\frac{d h}{d t} = 0$ : $Q_{e 0} = s 2 g h_{0}$ .

2. Au premier ordre, $s 2 g h \approx Q_{e 0} + \frac{s g}{2 g h _{0}} Δ h = Q_{e 0} + \frac{Q _{e 0}}{2 h _{0}} Δ h$ , d'où $S \frac{d Δ h}{d t} + \frac{Q _{e 0}}{2 h _{0}} Δ h = Δ q_{e}$ .

3. $H (p) = \frac{K}{1 + τ p}$ avec $K = \frac{2 h _{0}}{Q _{e 0}}$ et $τ = \frac{2 h _{0} S}{Q _{e 0}}$ . Le modèle vaut pour de petites variations : $K$ et $τ$ dépendent du point de fonctionnement choisi.

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