Problème — Broche d'usinage à grande vitesse

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Une électrobroche d'usinage tournant à $40000 t r / min$ est commandée en couple ; la boucle de courant du variateur se comporte comme un premier ordre de constante de temps $τ_{i} = 0.5 ms$ et de gain unitaire. L'arbre de broche a une inertie $J = 1.8 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ et un frottement visqueux $f = 4.2 \times 1 0^{- 4} Nms / rad$ . La vitesse est asservie par un correcteur proportionnel de gain $K_{p}$ et un retour unitaire.

Établir la fonction de transfert en boucle fermée $F (p) = Ω (p) / Ω_{ref} (p)$ .
Calculer $K_{p}$ pour obtenir $ξ = 0, 707$ , d'abord en négligeant $f$ , puis vérifier l'effet de $f$ .

Corrigé

1. Chaîne directe $K_{p} \cdot \frac{1}{1 + τ _{i} p} \cdot \frac{1}{J p + f}$ , retour unitaire :

$F (p) = \frac{K _{p}}{( 1 + τ _{i} p ) ( J p + f ) + K _{p}} = \frac{K _{p}}{τ _{i} J p ^{2} + ( J + τ _{i} f ) p + f + K _{p}} .$

2. Sans $f$ : $F (p) = \frac{1}{1 + \frac{J}{K _{p}} p + \frac{τ _{i} J}{K _{p}} p ^{2}}$ , donc $ω_{0} = K_{p} / (τ_{i} J)$ et $ξ = \frac{1}{2} \frac{J}{K _{p} τ _{i}}$ . Pour $ξ^{2} = 1/2$ : $K_{p} = \frac{J}{2 τ _{i}} = \frac{1 , 8 \times 1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 3}} = 1.8 Nms / rad$ . Avec $f$ : $τ_{i} f = 2, 1 \times 1 0^{- 7} kg m^{2}$ est négligeable devant $J$ , et $f$ devant $K_{p}$ ; le calcul complet donne $ξ = 0, 7071$ et un gain statique $K_{p} / (f + K_{p}) = 0, 99977$ : l'approximation était justifiée, à $0, 02 %$ près.

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