Problème : le moteur à courant continu d'un axe de robot, ou le modèle de connaissance

La stratégie. On passe chaque équation en Laplace, on dessine les blocs dans l'ordre de causalité (tension, courant, couple, vitesse, force électromotrice), on réduit par superposition (une entrée à la fois) et formule de Black ; on exploite ensuite le modèle par ses pôles et par les théorèmes aux limites, et l'on confronte chaque prédiction à la fiche et au cahier des charges.

1) Schéma-blocs. En Laplace : $I(p)=\frac{U(p)-E(p)}{R+Lp}$ ; $C_m(p)=kI(p)$ ; $\Omega (p)=\frac{C_m(p)-C_r(p)}{Jp}$ ; $E(p)=k\Omega (p)$.

La force électromotrice $E=k\Omega$ revient se soustraire à la tension : c'est une boucle de retour interne, physique (aucun capteur), qui stabilise naturellement la vitesse.

2) Réduction. Entrée $U$ seule ($C_r=0$) : chaîne directe $\frac{k}{(R+Lp)Jp}$, retour $k$ : $$H_u=\frac{\frac{k}{(R+Lp)Jp}}{1+\frac{k^2}{(R+Lp)Jp}}=\frac{k}{(R+Lp)Jp+k^2}=\frac{1/k}{1+\frac{RJ}{k^2}p+\frac{LJ}{k^2}{p}^2}.$$ Entrée $C_r$ seule ($U=0$) : la chaîne directe est $-\frac{1}{Jp}$ et le retour passe par $k\cdot \frac{1}{R+Lp}\cdot k$ ; Black donne $\frac{\Omega }{C_r}=-\frac{R+Lp}{(R+Lp)Jp+k^2}=-H_r$. Avec ${\tau }_m=\frac{RJ}{k^2}$ (constante de temps électromécanique) et ${\tau }_e=\frac{L}{R}$ (constante de temps électrique), ${\tau }_e{\tau }_m=\frac{LJ}{k^2}$, d'où les formes annoncées. Les deux fonctions sont d'ordre $2$ et de classe $0$ ; gains $1/k$ et $R/k^2$ ; $H_u$ n'a pas de zéro, $H_r$ a un zéro en $-R/L=-1/{\tau }_e$ ; les pôles communs sont les racines de $1+{\tau }_{m}p+{\tau }_e{\tau }_m{p}^2$. Forme canonique : ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{{\tau }_e{\tau }_m}}$ et $\xi =\frac{{\tau }_m{\omega }_0}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\tau }_m}{{\tau }_e}}$.

3) Valeurs. $J=142\times 10^{-7}=1,42\times 10^{-5}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ ; ${\tau }_e=\frac{0,082\times 10^{-3}}{0,299}=0,274\mathrm{ms}$ ; ${\tau }_m=\frac{0,299\times 1,42\times 10^{-5}}{(30,2\times 10^{-3}{)}^2}=4,66\mathrm{ms}$ (la fiche indique la même « constante de temps mécanique ») ; rapport $17$. Puis ${\omega }_0=885rad/s$ et $\xi =\frac{1}{2}\sqrt{17}=2,06$ : deux pôles réels. Racines de ${\tau }_e{\tau }_m{p}^2+{\tau }_{m}p+1$ : $$p=\frac{-1\pm \sqrt{1-4{\tau }_e/{\tau }_m}}{2{\tau }_e}⟹p_1=-229{\mathrm{s}}^{-1},p_2=-3417{\mathrm{s}}^{-1}.$$ L'approximation donnerait $-1/{\tau }_m=-215$ et $-1/{\tau }_e=-3646{\mathrm{s}}^{-1}$ : $6,7\%$ d'écart sur le pôle lent. Elle reste utile (elle donne l'ordre de grandeur et rend le modèle lisible), mais ce n'est qu'une approximation, d'autant meilleure que ${\tau }_m\gg {\tau }_e$ ; la constante de temps « vraie » du pôle lent vaut $1/229=4,36\mathrm{ms}$.

4) Vitesse à vide. Échelon $U_0=24\mathrm{V}$, $C_r=0$ : $\omega (+\infty )=\underset{p\to 0}{\lim }p{H}_u(p)\frac{U_0}{p}=\frac{U_0}{k}=\frac{24}{0,0302}=795rad/s=7589tr/min$. La fiche annonce $7580tr/min$ : écart réel/modèle de $-0,12\%$. Il vient du frottement interne, que le modèle néglige et qui consomme le courant à vide : couple $k{I}_0=0,0302\times 0,137=4,1\mathrm{mN}\cdot \mathrm{m}$, qui fait perdre $\frac{Rk{I}_0}{k^2}=1,36rad/s=13tr/min$, soit $7576tr/min$ : l'écart est expliqué. Exigence $\ge 7000tr/min$ : conforme, marge $8\%$.

5) Chute sous charge. Échelon de couple $C_0=0,17\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : $\Delta \omega =\underset{p\to 0}{\lim }p{H}_r(p)\frac{C_0}{p}=\frac{R{C}_0}{k^2}=\frac{0,299\times 0,17}{9,12\times 10^{-4}}=55,7rad/s=532tr/min$, soit $7,0\%$ de la vitesse à vide. Exigence $5\%$ : non conforme. Il faudrait diviser la chute par $7,0/5=1,40$ au moins. La boucle interne de la force électromotrice ne suffit pas : il faudra mesurer la vitesse et fermer une boucle de vitesse autour du moteur, ce que l'étude des performances des systèmes asservis permettra de dimensionner.

6) Valeurs initiales. Modèle complet : l'accélération a pour transformée $p\Omega (p)$, et $\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}(0^{+})=\underset{p\to +\infty }{\lim }p\cdot p{H}_u(p)\frac{U_0}{p}=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{p{U}_0/k}{{\tau }_e{\tau }_m{p}^2}=0$. De même, $\frac{I}{U}=\frac{Jp}{(R+Lp)Jp+k^2}$ donne $i(0^{+})=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{Jp}{LJ{p}^2}{U}_0=0$ : l'inductance empêche le courant de sauter. Modèle simplifié ($L=0$, premier ordre $\frac{1/k}{1+{\tau }_{m}p}$) : $\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}(0^{+})=\frac{U_0}{k{\tau }_m}=\frac{795}{4,66\times 10^{-3}}=1,7\times 10^{5}rad/{\mathrm{s}}^2$ et $i(0^{+})=U_0/R=80\mathrm{A}$. Les deux modèles divergent aux temps courts devant ${\tau }_e$ ($0,27\mathrm{ms}$) et s'accordent au-delà : le premier ordre est valable pour la dynamique de la vitesse, pas pour le courant de démarrage. Quant aux $80\mathrm{A}$, ni l'un ni l'autre modèle ne les voit vraiment : le variateur limite le courant (à quelques fois le courant nominal), ce qui est une saturation, hors du modèle linéaire.

Résultat établi : le modèle de connaissance du moteur à courant continu. Sous une tension $U$ et un couple résistant $C_r$, la vitesse d'un moteur à courant continu obéit à $$\Omega (p)=\frac{(1/k)U(p)-((R+Lp)/k^2)C_r(p)}{1+{\tau }_{m}p+{\tau }_e{\tau }_m{p}^2},{\tau }_e=\frac{L}{R},{\tau }_m=\frac{RJ}{k^2};$$ la force électromotrice est une boucle de retour interne ; en régime permanent, $\omega =\frac{U}{k}-\frac{R{C}_r}{k^2}$ (vitesse à vide et chute sous charge) ; quand ${\tau }_m\gg {\tau }_e$, le moteur se comporte vu de la vitesse comme un premier ordre de constante de temps voisine de ${\tau }_m$.

Ce que le problème installe. Le chemin complet de la modélisation : lois physiques, Laplace, schéma-blocs dans l'ordre de causalité, réduction par superposition et formule de Black ; lecture des pôles, comparaison aux approximations ; exploitation par les théorèmes aux limites, qui donnent chacun une prédiction confrontée à la fiche (écart expliqué) puis au cahier des charges (non-conformité qui motive l'asservissement). Un modèle simplifié se juge par ce qu'il prédit aux temps courts et aux temps longs.