Superposition : consigne et perturbation

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · niveau 2

Énoncé

Un système asservi en position reçoit une consigne $E (p)$ et une perturbation de charge $W (p)$ appliquée entre deux blocs $G_{1} (p) = \frac{K _{1}}{p}$ et $G_{2} (p) = \frac{K _{2}}{1 + τ p}$ de la chaîne directe ; le retour est unitaire.

Établir, par superposition, $S (p) = \frac{G _{1} G _{2}}{1 + G _{1} G _{2}} E (p) + \frac{G _{2}}{1 + G _{1} G _{2}} W (p)$ .
Calculer l'erreur permanente due à un échelon de perturbation $W (p) = W_{0} / p$ (consigne nulle).

Corrigé

1. Le système est linéaire : on calcule l'effet de chaque entrée, l'autre étant nulle, et l'on additionne. Pour $E$ seule, Black donne $\frac{G _{1} G _{2}}{1 + G _{1} G _{2}}$ . Pour $W$ seule, la chaîne directe de $W$ à $S$ est $G_{2}$ et la boucle reste la même ( $G_{1} G_{2}$ en tout) : $\frac{G _{2}}{1 + G _{1} G _{2}}$ .

2. Avec $E = 0$ :

$S (p) = \frac{\frac{K _{2}}{1 + τ p}}{1 + \frac{K _{1} K _{2}}{p ( 1 + τ p )}} \frac{W _{0}}{p} = \frac{K _{2} W _{0}}{p ( 1 + τ p ) + K _{1} K _{2}} .$

L'erreur vaut $ε = 0 - s$ , et $ε (+ \infty) = - p \to 0 lim p S (p) = 0$ . L'intégrateur $G_{1}$ , placé en amont du point d'application de la perturbation, en annule l'effet en régime permanent ; placé en aval, il ne le ferait pas.

Énoncé

Corrigé

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