Théorèmes des valeurs initiale et finale

1. $f(0^{+})=\underset{p\to +\infty }{\lim }pF(p)=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{10(p+2)}{p^2+3p+10}=\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{10}{p}=0$ : le numérateur est de degré 1, le dénominateur de degré 2.

2. La limite existe si les pôles de $pF(p)$ sont à partie réelle strictement négative : ce sont les racines de $p^2+3p+10$, de discriminant $9-40=-31<0$, donc $p=-1,5\pm 2,78j$ : c'est le cas. Alors $f(+\infty )=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{10(p+2)}{p^2+3p+10}=\frac{20}{10}=2$.