Transformées de Laplace usuelles

Modélisation des SLCI et Transformée de Laplace · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer la transformée de Laplace des fonctions causales suivantes :

$f_{1} (t) = e^{- 3 t} u (t)$ ;
$f_{2} (t) = sin (2 t) u (t)$ ;
(Complément) $f_{3} (t) = t^{2} e^{- t} u (t)$ .

Corrigé

1. $F_{1} (p) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 3 t} e^{- pt} d t = [\frac{- e ^{- (p + 3) t}}{p + 3}]_{0}^{+ \infty} = \frac{1}{p + 3}$ (pour $Re (p) > - 3$ ).

2. $sin (2 t) = \frac{e ^{2 j t} - e ^{- 2 j t}}{2 j}$ et, par linéarité et le résultat précédent (avec $a = \mp 2 j$ ), $F_{2} (p) = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{p - 2 j} - \frac{1}{p + 2 j}) = \frac{2}{p ^{2} + 4}$ .

3. Complément (propriété hors du strict nécessaire du programme) : $L [t^{n} f (t)] = (- 1)^{n} \frac{d ^{n} F}{d p ^{n}}$ . Avec $L [e^{- t}] = \frac{1}{p + 1}$ , $F_{3} (p) = \frac{d ^{2}}{d p ^{2}} (\frac{1}{p + 1}) = \frac{2}{( p + 1 ) ^{3}}$ .

Énoncé

Corrigé

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