Complément — Pôles dominants — exercice corrigé de sciences industrielles (MPSI) (chapitre 3)

Complément — Pôles dominants

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · niveau 2

Énoncé

Les pôles dominants et la réduction de l'ordre d'un modèle sont au programme de deuxième année. Un système a pour fonction de transfert $H (p) = \frac{1}{( 1 + 0 , 01 p ) ( 1 + 0 , 5 p ) ( 1 + 2 p )}$ .

Donner ses trois constantes de temps et identifier le pôle dominant.
Estimer le temps de réponse à $5 %$ par le premier ordre réduit et commenter.

Corrigé

1. $τ_{1} = 2 s$ , $τ_{2} = 0.5 s$ , $τ_{3} = 0.01 s$ . Le pôle $- 1/ τ_{1} = - 0.5 / s$ , le plus proche de l'axe imaginaire, est dominant : son mode s'éteint le plus lentement.

2. Réduction : $H \approx \frac{1}{1 + 2 p}$ et $t_{5%} \approx 3 τ_{1} = 6 s$ . La simulation du modèle complet donne $6.58 s$ : l'approximation sous-estime de $9 %$ , parce que $τ_{2}$ n'est que quatre fois plus petite que $τ_{1}$ . Le pôle en $- 100$ est, lui, négligeable : il ne change le temps de réponse que d'un centième de seconde.

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Corrigé

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