sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Doseur pondéral à bande : un retard qui se lit sur la phase

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · A. Systèmes du premier ordre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans une cimenterie, un doseur règle le débit de poudre : une vis d'extraction, sous une trémie, dépose la poudre sur une bande transporteuse de $1, 5 m$ qui avance à $0, 25 m/s$ et passe sur une balance en bout de bande. On fait varier sinusoïdalement la consigne de débit de la vis autour d'un point de fonctionnement, et l'on mesure, en régime permanent, le gain et le déphasage du débit pesé par rapport à la consigne :

$ω$ (rad/s)	$0, 02$	$0, 05$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 5$
gain (dB)	$- 0, 17$	$- 0, 97$	$- 3, 01$	$- 6, 99$	$- 14, 15$
phase ( $^{\circ}$ )	$- 18, 2$	$- 43, 8$	$- 79, 4$	$- 132, 2$	$- 250, 6$

Exigence : pour que la régulation de débit soit réactive, le retard pur de la chaîne doit être inférieur ou égal à $5 s$ .

1) D'après le gain seul, quel modèle proposer ? Identifier son gain statique et sa constante de temps.

2) Comparer la phase mesurée à celle de ce modèle. Pourquoi la phase mesurée descend-elle sous $- 9 0^{\circ}$ ? Que vaut la phase asymptotique d'une fonction de transfert rationnelle d'ordre $1$ sans zéro ?

3) Proposer un modèle complet. Identifier le retard $T$ sur la mesure à $0, 1 rad/s$ , puis le vérifier sur les deux autres points extrêmes.

4) Interpréter physiquement $T$ et $τ$ . Conclure sur l'exigence ; quelle vitesse de bande faut-il au minimum ? Vérifier pour $0, 35 m/s$ .

Corrigé

La stratégie. On identifie un modèle fréquentiel en séparant ce que dit le gain de ce que dit la phase. Un retard pur ne laisse aucune trace sur le gain ( $∣ e^{- j ω T} ∣ = 1$ ) : seule la phase le trahit, par un déphasage qui croît sans limite avec $ω$ .

1) Le gain. Gain $\approx 0 dB$ en basse fréquence ( $- 0, 17 dB$ à $0, 02 rad/s$ ), $- 3, 01 dB$ à $0, 1 rad/s$ , puis une pente qui tend vers $- 20 dB/d e ˊ cade$ : c'est un premier ordre de gain $K = 1$ et de pulsation de coupure $0, 1 rad/s$ , donc $τ = 10 s$ . Contrôle : $- 10 lo g (1 + 25) = - 14, 15 dB$ à $0, 5 rad/s$ , exactement la mesure.

2) La phase. Le premier ordre identifié donnerait $- arctan (10 ω)$ : $- 11, 3^{\circ}$ , $- 26, 6^{\circ}$ , $- 4 5^{\circ}$ , $- 63, 4^{\circ}$ , $- 78, 7^{\circ}$ , toujours au-dessus de $- 9 0^{\circ}$ . La mesure descend bien plus bas, jusqu'à $- 250, 6^{\circ}$ . Une fonction de transfert rationnelle a une phase asymptotique bornée, $(m - n) \times 9 0^{\circ}$ (ici $- 9 0^{\circ}$ pour un ordre $1$ sans zéro) ; une phase qui dépasse cette borne alors que le gain est celui d'un premier ordre signe un retard pur.

3) Le modèle. $H (p) = \frac{K e ^{- T p}}{1 + τ p}$ , de phase $- arctan (τ ω) - ω T$ . À $0, 1 rad/s$ , l'excès de phase vaut $79, 4 - 45, 0 = 34, 4^{\circ} = 0, 600 rad$ , donc $T = 0, 600/0, 1 = 6, 0 s$ . Vérifications : à $0, 02 rad/s$ , $18, 2 - 11, 3 = 6, 9^{\circ} = 0, 120 rad$ , $T = 6, 0 s$ ; à $0, 5 rad/s$ , $250, 6 - 78, 7 = 171, 9^{\circ} = 3, 00 rad$ , $T = 6, 0 s$ . Le modèle est cohérent sur toute la plage.

4) Interprétation et exigence. $T = 6, 0 s = 1, 5/0, 25$ : c'est le temps de transport de la poudre, de la vis à la balance. $τ = 10 s$ traduit l'inertie de l'écoulement dans la trémie et la vis. Exigence $T \leq 5 s$ : non conforme. Il faut une bande d'au moins $1, 5/5 = 0, 30 m/s$ ; à $0, 35 m/s$ , $T = 4, 3 s$ : conforme, marge $14 %$ (ou bien rapprocher la balance de la vis). Un retard pur n'atténue rien, mais il fait perdre $ω T$ radians de phase ; on verra en étudiant la stabilité pourquoi c'est la phase qui limite une boucle.

Ce que l'exercice installe. Sur un essai harmonique, on identifie les blocs élémentaires par leur signature : gain (plat), premier ordre ( $- 3 dB$ et $- 4 5^{\circ}$ à la coupure, $- 20 dB/d e ˊ cade$ ), intégrateur ( $- 20 dB/d e ˊ cade$ partout, $- 9 0^{\circ}$ ), retard (gain nul, phase $- ω T$ sans limite). La phase asymptotique d'une fonction rationnelle vaut $(m - n) \times 9 0^{\circ}$ ; la dépasser signe un retard. Un modèle identifié se vérifie sur les points qui n'ont pas servi.

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