sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : l'accéléromètre de déclenchement d'airbag, ou le bon amortissement d'un capteur

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · B. Systèmes du second ordre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le choc qui déclenche un airbag est mesuré par un accéléromètre micro-usiné dans le silicium : une masse sismique $m$ , suspendue par des poutres de raideur $k$ , freinée par le gaz du boîtier (coefficient $c$ ), se déplace par rapport au boîtier de $x (t)$ quand celui-ci subit l'accélération $γ (t)$ ; des électrodes en peigne mesurent $x$ . On admet le modèle $\frac{X ( p )}{Γ ( p )} = - \frac{1/ ω _{0}^{2}}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}, ω_{0} = \frac{k}{m}, ξ = \frac{c}{2 k m} .$ Données du constructeur : $m = 2, 0 \times 1 0^{- 8} kg$ ; fréquence propre $f_{0} = 4, 5 kHz$ ; facteur de qualité mécanique $Q_{m} = \frac{1}{2 ξ} = 2, 5$ (définition des mécaniciens, à ne pas confondre avec le facteur de résonance $Q$ des conventions) ; butées mécaniques à $1, 0 μ m$ de la position de repos ; $g = 9, 81 m/ s^{2}$ . Cahier des charges : un choc de $50 g$ en échelon mesuré en moins de $1 ms$ (temps de réponse à $5 %$ ) ; la masse ne doit pas toucher les butées ; bande passante « plate » (gain à $\pm 5 %$ du gain statique) d'au moins $400 Hz$ ; aucune amplification supérieure à $1 dB$ , à aucune fréquence (les vibrations du véhicule ne doivent pas simuler un choc).

1) Calculer $ξ$ , $k$ et $c$ . Calculer la sensibilité statique (déplacement par $g$ ) par le théorème de la valeur finale.

2) Choc de $50 g$ : déplacement statique, dépassement, déplacement maximal ; la masse touche-t-elle les butées ? On donne le temps de réponse réduit exact $ω_{0} t_{5%} = 13, 7$ pour $ξ = 0, 2$ : calculer $t_{5%}$ et le comparer à l'estimation par l'enveloppe.

3) Diagramme de Bode : asymptotes, pulsation et facteur de résonance. Conclure sur l'exigence d'amplification.

4) Calculer la bande passante à $\pm 5 %$ pour $ξ = 0, 2$ (résoudre $∣ H / H (0)∣ = 1, 05$ en $u = f / f_{0}$ ).

5) Le constructeur peut régler $ξ$ par la pression du gaz. On donne le tableau suivant, obtenu à partir des réponses exactes :

$ξ$	$0, 2$	$0, 5$	$0, 6$	$0, 65$	$0, 7$
$D_{1}$	$52, 7 %$	$16, 3 %$	$9, 5 %$	$6, 8 %$	$4, 6 %$
$ω_{0} t_{5%}$	$13, 7$	$5, 29$	$5, 23$	$5, 03$	$2, 90$
bande à $\pm 5 %$ ( $u$ )	$0, 228$	$0, 322$	$0, 844$	$0, 720$	$0, 591$
pic de résonance (dB)	$8, 14$	$1, 25$	$0, 35$	$0, 11$	$0, 002$

Vérifier deux valeurs du tableau par les formules des conventions. Pour quel $ξ$ le temps de réponse est-il le plus court ? La bande la plus large ? Expliquer pourquoi.

6) Choisir $ξ$ et conclure sur tout le cahier des charges.

Corrigé

La stratégie. On établit d'abord les paramètres du modèle, puis on calcule chaque performance avec les relations du second ordre (dépassement, temps de réponse, résonance, bande), et l'on regarde comment chacune varie avec $ξ$ , seul paramètre réglable : le meilleur réglage est celui qui tient toutes les exigences à la fois.

1) Paramètres. $ξ = \frac{1}{2 Q _{m}} = 0, 20$ ; $ω_{0} = 2 π \times 4500 = 28274 rad/s$ ; $k = m ω_{0}^{2} = 2, 0 \times 1 0^{- 8} \times 7, 99 \times 1 0^{8} = 16, 0 N/m$ ; $c = 2 ξ k m = 2 m ξ ω_{0} = 2, 26 \times 1 0^{- 4} N s/m$ . Sensibilité : pour $γ = γ_{0} u (t)$ , $x (+ \infty) = p \to 0 lim p \frac{X}{Γ} \frac{γ _{0}}{p} = - \frac{γ _{0}}{ω _{0}^{2}}$ ; pour $1 g$ , $∣ x ∣ = \frac{9 , 81}{7 , 99 \times 1 0 ^{8}} = 1, 23 \times 1 0^{- 8} m = 12, 3 nm$ . Plus la fréquence propre est haute, moins le capteur est sensible : c'est le compromis fondamental de l'accéléromètre.

2) Le choc. Statique : $50 \times 12, 3 = 614 nm$ . Dépassement $D_{1} = exp (- \frac{0 , 2 π}{0 , 96}) = 0, 527$ : pic à $614 \times 1, 527 = 937 nm < 1, 0 μ m$ : pas de contact, mais avec $6 %$ de marge seulement. Temps de réponse : $t_{5%} = \frac{13 , 7}{28 274} = 0, 486 ms$ ; l'enveloppe donnerait $\frac{3}{ξ ω _{0}} = 0, 531 ms$ , $9 %$ de trop (à faible amortissement, la réponse peut être déjà dans la bande alors que l'enveloppe n'y est pas encore). $0, 49 \leq 1 ms$ : conforme.

3) Bode. Gain statique $1/ ω_{0}^{2}$ (le signe moins est un déphasage de $18 0^{\circ}$ constant, sans effet sur le module), asymptote horizontale jusqu'à $ω_{0}$ , puis $- 40 dB/d e ˊ cade$ . $ξ = 0, 2 < 0, 707$ : résonance en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 \times 0, 04 = 0, 959 ω_{0}$ ( $4, 3 kHz$ ), avec $Q = \frac{1}{2 \times 0 , 2 0 , 96} = 2, 55$ , soit $+ 8, 1 dB$ : non conforme (exigence $1 dB$ ). Une vibration du véhicule à $4, 3 kHz$ serait vue $2, 55$ fois trop forte : risque de déclenchement intempestif.

4) Bande à ±5 %. Avec $u = f / f_{0}$ , $∣ H / H (0) ∣^{- 2} = (1 - u^{2})^{2} + 4 ξ^{2} u^{2}$ . Le gain monte vers la résonance ; il sort de la bande quand il atteint $1, 05$ : $(1 - u^{2})^{2} + 0, 16 u^{2} = 1/1, 0 5^{2} = 0, 907$ . En posant $w = u^{2}$ : $w^{2} - 1, 84 w + 0, 093 = 0$ , de plus petite racine $w = 0, 052$ , soit $u = 0, 228$ et une bande de $0, 228 \times 4, 5 = 1, 03 kHz$ : conforme ( $\geq 400 Hz$ ).

5) Le rôle de $ξ$ . Vérifications : pour $ξ = 0, 5$ , $D_{1} = e^{- 0, 5 π /0, 866} = e^{- 1, 814} = 0, 163$ ; $Q = \frac{1}{2 \times 0 , 5 \times 0 , 866} = 1, 155$ , soit $1, 25 dB$ : conformes au tableau. Le temps de réponse est minimal vers $ξ = 0, 7$ ( $ω_{0} t_{5%} = 2, 90$ , le minimum exact $\approx 2, 88$ étant atteint vers $ξ = 0, 69$ ), parce que c'est le plus faible amortissement pour lequel le premier dépassement reste dans la bande de $5 %$ : la réponse y entre dès sa première montée. La bande « plate » est la plus large vers $ξ = 0, 6$ (le maximum exact, $u = 0, 87$ , est vers $ξ = 0, 59$ ) : un léger pic, inférieur à $5 %$ , prolonge la zone où le gain reste dans la tolérance avant de chuter. Sous $0, 5$ , le pic sort de la tolérance (bande étroite) ; au-dessus de $0, 707$ , le gain chute plus tôt.

6) Choix et conclusion. Il faut un pic $\leq 1 dB$ , c'est-à-dire $Q \leq 1 0^{1/20} = 1, 122$ , donc $ξ \geq 0, 52$ . On retient $ξ = 0, 65$ : pic $0, 11 dB$ ✓ ; $D_{1} = 6, 8 %$ , déplacement maximal $614 \times 1, 068 = 656 nm$ ✓ (marge $34 %$ sur les butées) ; $t_{5%} = 5, 03/28 274 = 0, 18 ms$ ✓ ; bande $0, 720 \times 4, 5 = 3, 2 kHz$ ✓. Tout le cahier des charges est tenu, ce que $ξ = 0, 2$ ne permettait pas (résonance). Le réglage $ξ = 0, 7$ conviendrait aussi ( $t_{5%} = 0, 10 ms$ , bande $2, 7 kHz$ ) : la zone $0, 6$ – $0, 7$ est la bonne, ce qui explique la pratique des constructeurs.

Résultat établi : les performances d'un second ordre en fonction de son amortissement. Pour $H (p) = \frac{K}{1 + 2 ξ p / ω _{0} + p ^{2} / ω _{0}^{2}}$ : le dépassement $D_{1} = e^{- π ξ / 1 - ξ^{2}}$ et le facteur de résonance $Q = 1/ (2 ξ 1 - ξ^{2})$ ne dépendent que de $ξ$ (résonance seulement si $ξ < 2 /2$ , en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ ) ; les temps et les fréquences sont proportionnels à $1/ ω_{0}$ et $ω_{0}$ . Le temps de réponse réduit $ω_{0} t_{5%}$ est minimal ( $\approx 2, 9$ ) vers $ξ \approx 0, 7$ , et la bande à $\pm 5 %$ maximale vers $ξ \approx 0, 6$ : d'où le réglage $ξ \approx 0, 6$ à $0, 7$ des capteurs et des systèmes asservis.

Ce que le problème installe. Le réflexe complet du second ordre : paramètres du modèle, sensibilité statique (valeur finale), réponse indicielle (dépassement, temps de réponse, valeur maximale contre une butée), réponse fréquentielle (résonance, bande), puis le choix du seul paramètre réglable contre toutes les exigences à la fois. On distingue les définitions de $Q$ , on contrôle les estimations (enveloppe) par les valeurs exactes, et l'on explique pourquoi les optimums se trouvent là où ils sont.

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