Problème — Tête de lecture optique : diagramme de Bode asymptotique

1. Un intégrateur et deux pôles en ${\omega }_1=1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et ${\omega }_2=10000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Pentes de gain : $-20\text{dB/deˊcade}$ avant ${\omega }_1$, $-40$ entre ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$, $-60$ au-delà. Phase asymptotique : $-90^{\circ }$ aux basses pulsations, $-270^{\circ }$ aux hautes. Phase exacte en ${\omega }_1$ : $-90^{\circ }-\arctan 1-\arctan 0,1=-90-45-5,7=-140,7^{\circ }$ (et non $-135^{\circ }$ : le second pôle, une décade plus loin, retire déjà près de $6^{\circ }$).

2. $\phi ({\omega }_{\pi })=-180^{\circ }$ impose $\arctan (10^{-3}{\omega }_{\pi })+\arctan (10^{-4}{\omega }_{\pi })=90^{\circ }$, et $\arctan a+\arctan b=90^{\circ }⟺ab=1$ (pour $a,b>0$) : $10^{-7}{\omega }_{\pi }^2=1$, ${\omega }_{\pi }=3162\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Module :

$$|T(j{\omega }_{\pi })|=\frac{K}{3162\sqrt{1+10}\sqrt{1+0,1}}=\frac{K}{11000}.$$

Ce nombre servira à l'étude de la stabilité de la boucle.