sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Robot cartésien : identifier un second ordre sur sa réponse indicielle

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · B. Systèmes du second ordre · niveau 2

Énoncé

L'axe vertical d'un robot cartésien de prise et dépose reçoit une consigne de déplacement en échelon de $40 mm$ . Le relevé de la position montre une réponse oscillante amortie : premier maximum $50, 0 mm$ à $t_{1} = 0, 12 s$ , premier minimum $37, 5 mm$ à $t_{2} = 0, 24 s$ , valeur finale $40, 0 mm$ . Exigences : dépassement inférieur ou égal à $10 %$ (sinon le préhenseur touche le fond du bac) ; temps de réponse à $5 %$ inférieur ou égal à $0, 3 s$ .

1) Pourquoi un modèle du second ordre ? Déterminer le gain statique.

2) Calculer le dépassement relatif $D_{1}$ et en déduire $ξ$ .

3) Déterminer la pseudo-période, puis $ω_{0}$ . Écrire la fonction de transfert.

4) Vérifier la cohérence du modèle avec le premier minimum.

5) On calcule (par simulation du modèle) $t_{5%} = 0, 265 s$ . Le comparer à l'estimation par l'enveloppe $3/ (ξ ω_{0})$ . Conclure sur les deux exigences.

Corrigé

La stratégie. Dépassement et oscillations excluent le premier ordre ; on identifie un second ordre par deux mesures indépendantes, le dépassement (qui ne dépend que de $ξ$ ) et la date du pic (qui donne $ω_{p}$ , donc $ω_{0}$ ), puis l'on vérifie sur une troisième mesure.

1) Le modèle. Une réponse qui dépasse puis oscille ne peut venir que d'un ordre au moins égal à $2$ (pôles complexes). Gain statique : $40/40 = 1$ .

2) Amortissement. $D_{1} = \frac{50 , 0 - 40 , 0}{40 , 0} = 0, 25$ . De $ln D_{1} = - \frac{π ξ}{1 - ξ ^{2}}$ on tire $ξ = \frac{∣ ln D _{1} ∣}{π ^{2} + ln ^{2} D _{1}} = \frac{1 , 386}{9 , 870 + 1 , 922} = 0, 404.$

3) Pulsation propre. Le maximum et le minimum suivants sont séparés d'une demi-pseudo-période : $T_{p} = 2 \times (0, 24 - 0, 12) = 0, 24 s$ , et le premier maximum est bien à $T_{p} /2 = 0, 12 s$ ( $t_{p} = π / ω_{p}$ ). $ω_{p} = 2 π /0, 24 = 26, 2 rad/s$ ; $ω_{0} = \frac{ω _{p}}{1 - ξ ^{2}} = \frac{26 , 2}{0 , 915} = 28, 6 rad/s$ . Donc $H (p) = \frac{1}{1 + \frac{2 \times 0 , 404}{28 , 6} p + \frac{p ^{2}}{28 , 6 ^{2}}} = \frac{1}{1 + 0 , 0282 p + 0 , 00122 p ^{2}} .$

4) Cohérence. Le second dépassement relatif vaut $D_{1}^{2} = 0, 0625$ , sous la valeur finale : le modèle prévoit un minimum à $40 \times (1 - 0, 0625) = 37, 5 mm$ , exactement le relevé. Les deux paramètres, identifiés sur le premier pic, prédisent le deuxième : le modèle du second ordre est validé.

5) Performances. L'enveloppe $1 \pm e^{- ξ ω_{0} t}$ entre dans la bande de $5 %$ quand $e^{- ξ ω_{0} t} = 0, 05$ , soit $t \approx \frac{3}{ξ ω _{0}} = \frac{3}{0 , 404 \times 28 , 6} = 0, 260 s$ , proche de la valeur exacte $0, 265 s$ (pour ce $ξ$ , l'estimation est bonne). Exigences : $t_{5%} = 0, 265 \leq 0, 3 s$ , conforme ; $D_{1} = 25 % > 10 %$ , non conforme. Il faudrait $ξ \geq 0, 59$ (calcul inverse : $D_{1} = 0, 10$ donne $ξ = 0, 591$ ) : l'axe est trop peu amorti, ce qu'un réglage de son asservissement devra corriger.

Ce que l'exercice installe. On identifie un second ordre sur sa réponse indicielle par deux mesures indépendantes : le dépassement donne $ξ$ (et lui seul), la date du pic ou la pseudo-période donne $ω_{p}$ puis $ω_{0}$ . Une troisième mesure (le dépassement suivant, $D_{2} = D_{1}^{2}$ ) valide le modèle. L'estimation $t_{5%} \approx 3/ (ξ ω_{0})$ vient de l'enveloppe ; on la contrôle quand c'est possible.

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