sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Robot de flacons : du cahier des charges au couple $(ξ, ω_{0})$

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · B. Systèmes du second ordre · niveau 2

Énoncé

Un bras robotisé manipule des flacons de vaccin. Son axe, asservi, se comporte comme un second ordre de gain $1$ , dont on peut choisir $ξ$ et $ω_{0}$ par le réglage de la commande ; l'actionneur limite $ω_{0}$ à $40 rad/s$ . Exigences : aucun dépassement de la position visée (un choc casserait le flacon) ; temps de réponse à $5 %$ inférieur ou égal à $150 ms$ . On fournit l'abaque du temps de réponse réduit, $ω_{0} t_{5%}$ en fonction de $ξ$ , tracé à partir des réponses exactes :

1) Traduire l'exigence « aucun dépassement » en condition sur $ξ$ , puis sur les pôles.

2) Parmi les $ξ$ admissibles, lequel minimise le temps de réponse ? En déduire la plus petite valeur de $ω_{0}$ qui tient l'exigence de rapidité.

3) Vérifier ce résultat par l'expression de la réponse indicielle en régime critique.

4) Si l'on tolérait $5 %$ de dépassement, quel serait le meilleur réglage et la plus petite valeur de $ω_{0}$ ? Que coûte l'exigence « aucun dépassement » ?

5) Conclure avec la limite de l'actionneur. Cas limite : un régleur prudent choisit $ξ = 1, 5$ « pour être sûr » ; que devient la plus petite valeur de $ω_{0}$ ?

Corrigé

La stratégie. Chaque exigence se traduit en une contrainte sur un seul paramètre, puis on cherche le réglage qui tient toutes les exigences avec le moins d'effort demandé à l'actionneur (le plus petit $ω_{0}$ ).

1) Aucun dépassement. La réponse indicielle d'un second ordre ne dépasse que si elle oscille, c'est-à-dire si $ξ < 1$ (pôles complexes). Il faut donc $ξ \geq 1$ : pôles réels (régime critique ou apériodique).

2) Le meilleur $ξ$ . Sur l'abaque, pour $ξ \geq 1$ , $ω_{0} t_{5%}$ croît avec $ξ$ : le plus rapide est le régime critique $ξ = 1$ , avec $ω_{0} t_{5%} = 4, 74$ . Pour $t_{5%} \leq 0, 15 s$ : $ω_{0} \geq \frac{4 , 74}{0 , 15} = 31, 6 rad/s$ .

3) Vérification. En régime critique, $s (t) = 1 - e^{- ω_{0} t} (1 + ω_{0} t)$ . On cherche $x = ω_{0} t$ tel que $e^{- x} (1 + x) = 0, 05$ ; par dichotomie, $x = 4, 744$ (contrôle : $e^{- 4, 744} \times 5, 744 = 0, 00870 \times 5, 744 = 0, 0500$ ). La réponse est monotone : elle reste dans la bande dès qu'elle y entre. Avec $ω_{0} = 31, 6 rad/s$ , $t_{5%} = 0, 150 s$ .

4) Avec 5 % tolérés. Le minimum de l'abaque, $ω_{0} t_{5%} \approx 2, 9$ , est atteint vers $ξ \approx 0, 7$ : c'est le $ξ$ pour lequel le premier dépassement vaut juste $5 %$ ( $D_{1} = 4, 6 %$ à $ξ = 0, 7$ ) ; la réponse entre alors dans la bande dès sa première montée. Il suffirait de $ω_{0} \geq 2, 90/0, 15 = 19, 3 rad/s$ . L'exigence « aucun dépassement » demande donc $31, 6/19, 3 = 1, 64$ fois plus de pulsation propre, soit $64 %$ de bande passante en plus : un actionneur plus rapide, ou plus de couple.

5) Conclusion et cas limite. L'actionneur permet $40 rad/s$ : avec $ξ = 1$ et $ω_{0} = 40 rad/s$ , $t_{5%} = 4, 744/40 = 0, 119 s$ : conforme, marge $21 %$ . Avec $ξ = 1, 5$ , l'abaque donne $ω_{0} t_{5%} = 8, 26$ et il faudrait $ω_{0} \geq 55 rad/s$ : impossible avec cet actionneur. La « prudence » qui surdimensionne l'amortissement rend le système lent : le bon réglage est à la frontière de l'exigence, pas au-delà.

Ce que l'exercice installe. Une exigence temporelle se traduit en contrainte sur un paramètre : le dépassement fixe $ξ$ , la rapidité fixe alors $ω_{0}$ via l'abaque $ω_{0} t_{5%} (ξ)$ . Le régime critique est le plus rapide sans dépassement ; $ξ \approx 0, 7$ est le plus rapide avec $5 %$ tolérés. Chaque exigence a un coût, que l'on chiffre ; surdimensionner l'amortissement ralentit.

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