sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Simulateur de vol : suivre une consigne sinusoïdale

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · B. Systèmes du second ordre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La plate-forme d'un simulateur de vol est animée par des vérins électriques. Chaque vérin asservi se comporte comme un second ordre de gain $1$ , de fréquence propre $f_{0} = 10 Hz$ et d'amortissement $ξ = 0, 7$ à vide ; avec la cabine la plus lourde, l'amortissement tombe à $ξ = 0, 3$ . Pour simuler les vibrations d'un moteur, la plate-forme doit suivre une consigne sinusoïdale de $2 Hz$ . Exigences : à $2 Hz$ , erreur d'amplitude d'au plus $5 %$ et retard de phase d'au plus $1 0^{\circ}$ (au-delà, le pilote perçoit le décalage avec l'image) ; à aucune fréquence le vérin ne doit amplifier la consigne de plus de $3 dB$ (sinon les turbulences simulées secouent la structure).

1) Écrire la réponse en régime permanent à une consigne $x_{c} (t) = x_{0} sin (ω t)$ . Calculer, pour $ξ = 0, 7$ et $2 Hz$ , le module et la phase de $H (j ω)$ , et le retard temporel correspondant.

2) Conclure sur les exigences à $2 Hz$ pour $ξ = 0, 7$ . Y a-t-il résonance ?

3) Même étude pour $ξ = 0, 3$ : module et phase à $2 Hz$ , puis pulsation de résonance et facteur de résonance en décibels. Conclure.

4) On garde $ξ = 0, 7$ . Quelle fréquence propre minimale faut-il pour tenir l'exigence de phase à $2 Hz$ ? Que devient alors l'erreur d'amplitude ?

5) Tracer l'allure des diagrammes de Bode (gain et phase) pour $ξ = 0, 3$ et $ξ = 0, 7$ , avec les asymptotes.

Corrigé

La stratégie. En régime sinusoïdal permanent, un système linéaire multiplie l'amplitude par $∣ H (j ω)∣$ et la décale de $φ (ω)$ : tout se lit sur le diagramme de Bode. On calcule avec la variable réduite $u = f / f_{0}$ : $H (j u) = \frac{1}{1 - u ^{2} + 2 j ξ u}$ .

1) Régime permanent. $x (t) = ∣ H (j ω)∣ x_{0} sin (ω t + φ)$ . À $2 Hz$ , $u = 0, 2$ ; pour $ξ = 0, 7$ : $1 - u^{2} = 0, 96$ et $2 ξ u = 0, 28$ , donc $∣ H ∣ = \frac{1}{0 , 9216 + 0 , 0784} = 1, 000$ et $φ = - arctan \frac{0 , 28}{0 , 96} = - 16, 3^{\circ}$ . Un déphasage de $16, 3^{\circ}$ à $2 Hz$ (période $0, 5 s$ ) est un retard de $\frac{16 , 3}{360} \times 0, 5 = 22, 6 ms$ .

2) Conclusion pour $ξ = 0, 7$ . Amplitude parfaite (l'égalité exacte à $1$ est une coïncidence de ces valeurs), mais retard de phase $16, 3^{\circ} > 1 0^{\circ}$ : non conforme. Résonance : $ξ = 0, 7 < 2 /2 = 0, 707$ de justesse ; $ω_{r} = ω_{0} 1 - 0, 98 = 0, 14 ω_{0}$ et $Q = 1, 0002$ : un pic de $0, 002 dB$ , négligeable. Une bonne bande passante en amplitude ne garantit pas la phase.

3) Charge lourde, $ξ = 0, 3$ . À $u = 0, 2$ : $∣ H ∣ = \frac{1}{0 , 9216 + 0 , 0144} = 1, 034$ ( $+ 3, 4 %$ , conforme) et $φ = - arctan \frac{0 , 12}{0 , 96} = - 7, 1^{\circ}$ (conforme). Mais $ξ < 0, 707$ : résonance en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 \times 0, 09 = 0, 906 ω_{0}$ , soit $9, 06 Hz$ , avec $Q = \frac{1}{2 \times 0 , 3 0 , 91} = 1, 747$ , soit $20 lo g 1, 747 = + 4, 85 dB > 3 dB$ : non conforme. Moins amorti, le vérin déphase moins à basse fréquence, mais il amplifie autour de $9 Hz$ .

4) La fréquence propre nécessaire. À $ξ = 0, 7$ , il faut $\frac{2 ξ u}{1 - u ^{2}} \leq tan 1 0^{\circ} = 0, 1763$ , soit $0, 1763 u^{2} + 1, 4 u - 0, 1763 \leq 0$ , d'où $u \leq 0, 124$ et $f_{0} \geq \frac{2}{0 , 124} = 16, 1 Hz$ . L'amplitude reste alors à $1, 0002$ : conforme. Il faut un vérin $1, 6$ fois plus rapide, et qui garde son amortissement avec la cabine lourde.

5) Bode. Asymptotes communes : $0 dB$ jusqu'à $f_{0}$ , puis $- 40 dB/d e ˊ cade$ ; phase de $0$ à $- 18 0^{\circ}$ , $- 9 0^{\circ}$ en $f_{0}$ pour tout $ξ$ . La courbe réelle pour $ξ = 0, 3$ présente un pic de $+ 4, 85 dB$ à $9, 06 Hz$ et une phase qui bascule vite autour de $f_{0}$ ; pour $ξ = 0, 7$ , le gain reste sous l'asymptote ( $- 3 dB$ en $f_{0}$ ) et la phase tourne plus progressivement.

Ce que l'exercice installe. En régime sinusoïdal, la sortie vaut $∣ H ∣$ fois l'entrée, décalée de $φ$ : on calcule avec $u = f / f_{0}$ , et l'on traduit un déphasage en retard temporel. Un cahier des charges fréquentiel porte sur le gain et la phase : un module parfait n'empêche pas un déphasage excessif. La résonance n'existe que pour $ξ < 2 /2$ , en $ω_{r} = ω_{0} 1 - 2 ξ^{2}$ , de facteur $Q = 1/ (2 ξ 1 - ξ^{2})$ ; un changement de charge qui fait chuter $ξ$ peut la faire apparaître.

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