sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Sonde de température de four : identifier un premier ordre, puis le suivre en rampe

Réponses Temporelles et Fréquentielles des SLCI · A. Systèmes du premier ordre · niveau 2

Énoncé

Une sonde de température gainée, montée sur un four de traitement thermique, est étalonnée : son affichage, à l'équilibre, donne exactement la température du milieu. Pour l'identifier, on la sort d'une pièce à $20^{\circ} C$ et on la plonge à $t = 0$ dans un bain d'huile à $180^{\circ} C$ . Relevé de l'affichage (incertitude de lecture $\pm 0, 5^{\circ} C$ ) :

$t$ (s)	$0$	$1$	$2$	$4$	$8$	$12$	$60$
affichage ( $^{\circ}$ C)	$20, 0$	$55, 4$	$83, 0$	$121, 1$	$158, 3$	$172, 0$	$180, 0$

Exigences : temps de réponse à $5 %$ inférieur ou égal à $15 s$ ; pendant la montée en température du four, à $10^{\circ} C/min$ , l'affichage ne doit pas retarder de plus de $1^{\circ} C$ sur la température réelle.

1) Justifier le modèle du premier ordre. Déterminer le gain statique $K$ et la constante de temps $τ$ par la méthode des $63 %$ , puis vérifier le modèle sur un second point.

2) Estimer $τ$ par la tangente à l'origine, tracée à partir des deux premiers points du relevé. Comparer et commenter.

3) Calculer $t_{5%}$ et conclure sur la première exigence. Une gaine céramique plus robuste porte $τ$ à $6 s$ : conclure.

4) La température du four monte en rampe, $θ (t) = θ_{0} + a t$ . En posant $E (p) = a / p^{2}$ pour la partie variable, calculer l'erreur $ε (t) = θ (t) - θ_{affich e ˊ} (t)$ en régime permanent par le théorème de la valeur finale. Conclure pour les deux gaines.

Corrigé

La stratégie. On reconnaît un premier ordre à sa réponse indicielle (départ avec une pente non nulle, aucun dépassement, approche exponentielle). On mesure $K$ sur la valeur finale et $τ$ par la méthode la plus robuste, puis on vérifie le modèle sur un point qui n'a pas servi à l'identifier. On prédit enfin les deux performances exigées.

1) Identification. L'affichage part sans retard, croît sans dépasser et se stabilise : premier ordre. L'échelon vaut $E_{0} = 160^{\circ} C$ et la variation finale $160^{\circ} C$ : $K = 1$ (la sonde est étalonnée). À $63 %$ : $20 + 0, 632 \times 160 = 121, 1^{\circ} C$ , lu exactement à $t = 4 s$ : $τ = 4, 0 s$ . Vérification à $8 s = 2 τ$ : le modèle prévoit $20 + 160 (1 - e^{- 2}) = 158, 4^{\circ} C$ , mesuré $158, 3$ : accord dans l'incertitude de lecture. Le modèle est validé.

2) Tangente. Entre $0$ et $1 s$ , la pente moyenne vaut $35, 4^{\circ} C/s$ ; la tangente coupe l'asymptote après $160/35, 4 = 4, 5 s$ , soit $13 %$ de trop. La pente à l'origine (vraie : $K E_{0} / τ = 40^{\circ} C/s$ ) est mal estimée par une corde, et un relevé bruité l'aggrave encore : la méthode des $63 %$ , qui lit une valeur et non une pente, est plus robuste.

3) Rapidité. $t_{5%} = 3 τ = 12 s$ (à $12 s$ , on lit $172, 0^{\circ} C$ , c'est bien $95 %$ de l'échelon) : conforme, marge $20 %$ . Avec la gaine céramique, $t_{5%} = 18 s$ : non conforme.

4) Traînage. Avec $K = 1$ : $ε (p) = E (p) - \frac{E ( p )}{1 + τ p} = \frac{τ p}{1 + τ p} \frac{a}{p ^{2}}$ , et $ε (+ \infty) = p \to 0 lim p \frac{τ p}{1 + τ p} \frac{a}{p ^{2}} = a τ .$ En régime permanent, l'affichage suit la rampe avec la même pente, mais décalé de $a τ$ : il affiche la température qu'avait le four $τ$ secondes plus tôt. Avec $a = 10/60 = 0, 167^{\circ} C/s$ : $0, 67^{\circ} C$ pour $τ = 4 s$ , conforme ; $1, 0^{\circ} C$ pour $τ = 6 s$ , à la limite exacte. La gaine céramique est refusée sur les deux exigences.

Ce que l'exercice installe. On identifie un premier ordre sur sa réponse indicielle : gain sur la valeur finale, constante de temps à $63 %$ , et l'on valide sur un point non utilisé ; une méthode qui lit une valeur est plus robuste qu'une méthode qui lit une pente. Un premier ordre suit une rampe avec un retard constant $a τ$ (théorème de la valeur finale) : la même constante de temps fixe la rapidité et le traînage.

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