sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Antenne de poursuite de satellite : classe et erreur de traînage

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · D. Précision des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Une antenne parabolique de station sol suit un satellite en orbite basse, à $500 km$ d'altitude, qui défile à $7, 6 km/s$ . L'asservissement en site a pour FTBO, avec un correcteur proportionnel, $T (p) = \frac{K}{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 02 p )}$ (retour unitaire). Exigences : marge de phase d'au moins $4 5^{\circ}$ ; erreur de pointage en poursuite d'au plus $0, 0 5^{\circ}$ (le faisceau de l'antenne est large de $0, 8^{\circ}$ ).

1) Donner la classe de la FTBO et l'unité de $K$ . Par le théorème de la valeur finale, calculer l'écart permanent pour une consigne en échelon, puis pour une consigne en rampe $θ_{c} (t) = v_{0} t$ .

2) Quelle est la vitesse angulaire maximale du satellite vu de l'antenne (au passage au zénith) ? En déduire la valeur minimale de $K$ qu'exige l'erreur de pointage.

3) L'exigence de marge de phase impose $ω_{0 dB} = 4, 22 rad/s$ au plus, soit $K \leq 5, 54 s^{- 1}$ (à vérifier). Calculer l'erreur de traînage correspondante. Que vaudrait la marge de phase avec le $K$ de la question 2 (on donne : $20, 4^{\circ}$ ) ? Conclure.

4) On ajoute un intégrateur à la boucle par un correcteur donné. Quelle est la nouvelle classe ? Que devient l'erreur de traînage ?

Corrigé

La stratégie. La précision en régime permanent se lit sur la classe de la FTBO (le nombre d'intégrateurs) et sur son gain. On calcule l'erreur exigée, on en déduit le gain nécessaire, et l'on confronte ce gain à celui que permet la stabilité.

1) Classe et écarts. Un pôle à l'origine : classe $α = 1$ ; $K$ est en $s^{- 1}$ (on l'appelle gain en vitesse $K_{v}$ ). L'écart vaut $ε (p) = \frac{E ( p )}{1 + T ( p )} = \frac{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 02 p )}{p ( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 02 p ) + K} E (p)$ . Échelon $E = θ_{0} / p$ : $ε_{\infty} = p \to 0 lim \frac{p ( \dots )}{p ( \dots ) + K} θ_{0} = 0$ . Rampe $E = v_{0} / p^{2}$ : $ε_{\infty} = p \to 0 lim \frac{( 1 + 0 , 2 p ) ( 1 + 0 , 02 p )}{p ( \dots ) + K} v_{0} = \frac{v _{0}}{K}$ : la classe $1$ annule l'écart statique mais laisse une erreur de traînage finie.

2) Le besoin. Au zénith, le satellite est à $500 km$ et se déplace perpendiculairement à la ligne de visée : $θ ˙ = v / h = 7, 6/500 = 0, 0152 rad/s = 0, 871^{\circ} / s$ . Pour $ε \leq 0, 0 5^{\circ}$ , il faut $K \geq \frac{0 , 871}{0 , 05} = 17, 4 s^{- 1}$ .

3) Le conflit. Pour $Δ φ = 4 5^{\circ}$ : $arctan (0, 2 ω) + arctan (0, 02 ω) = 4 5^{\circ}$ , soit $0, 22 ω = 1 - 0, 004 ω^{2}$ , $ω_{0 dB} = 4, 22 rad/s$ , puis $K = 4, 22 1 + 0, 712 1 + 0, 0071 = 5, 54 s^{- 1}$ . Erreur de traînage $0, 871/5, 54 = 0, 15 7^{\circ}$ : non conforme, trois fois trop. Avec $K = 17, 4$ , la marge de phase tombe à $20, 4^{\circ}$ : non conforme non plus. Aucun gain proportionnel ne tient les deux exigences : la précision et la stabilité se disputent le même paramètre.

4) Une classe de plus. Avec un intégrateur supplémentaire, la FTBO est de classe $2$ : pour une rampe, $ε_{\infty} = p \to 0 lim \frac{p ^{2} ( \dots )}{p ^{2} ( \dots ) + K ^{'}} \frac{v _{0}}{p ^{2}} \times p = 0$ : plus d'erreur de traînage. Il reste une erreur en accélération (le satellite accélère angulairement en approchant du zénith), finie, et le correcteur doit être conçu pour préserver la marge de phase, car un intégrateur retire $9 0^{\circ}$ de phase : c'est l'objet du réglage des correcteurs, au programme de deuxième année.

Ce que l'exercice installe. Le lien classe-écart : classe $0$ , écart statique $e_{0} / (1 + K)$ ; classe $1$ , écart statique nul et traînage $v_{0} / K_{v}$ ; classe $2$ , traînage nul. On traduit une exigence de précision en gain minimal, une exigence de stabilité en gain maximal, et l'on constate quand les deux sont incompatibles : il faut alors changer la structure (la classe), pas le réglage.

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