sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Four de cuisson industriel : l'asservissement est aussi juste que son capteur

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · D. Précision des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Un four de cuisson de biscuits est régulé en température. La consigne $θ_{c}$ (en $^{\circ} C$ ) passe par un adaptateur de gain $K_{a} = 10 mV /^{\circ} C$ ; la température est mesurée par un capteur de gain nominal $K_{c} = 10 mV /^{\circ} C$ ; le comparateur forme l'écart mesuré $ε_{m} = K_{a} θ_{c} - K_{c} θ$ ; le correcteur, donné, contient un intégrateur, et la FTBO est de classe $1$ . Exigence : température de cuisson à $\pm 2^{\circ} C$ de la consigne de $180^{\circ} C$ .

1) Pourquoi faut-il $K_{a} = K_{c}$ ? Montrer qu'alors le schéma équivaut à une boucle à retour unitaire.

2) Par le théorème de la valeur finale, que vaut l'écart mesuré en régime permanent ? En déduire la température du four.

3) Après un an, le capteur a dérivé : son gain vaut $K_{c}^{'} = 0, 985 K_{c}$ . Que devient la température du four ? Conclure sur l'exigence. Un correcteur à deux intégrateurs changerait-il quelque chose ?

4) Un ancien four n'a pas d'adaptateur : la consigne, en volts, est comparée directement à la mesure ; la chaîne directe vaut $G (p) = \frac{10}{p + 1}$ et le capteur $H = 2$ (unités réduites). Pour une consigne unitaire, la température visée est celle qui donnerait une mesure égale à la consigne, soit $0, 5$ . Calculer la valeur finale de la sortie et l'écart mesuré. Conclure.

Corrigé

La stratégie. Un asservissement annule (ou réduit) l'écart mesuré, c'est-à-dire la différence entre deux tensions ; ce n'est l'erreur sur la grandeur physique que si la consigne et la mesure sont converties de la même façon. On suit donc la chaîne des unités, puis on regarde ce que devient l'écart quand le capteur se trompe.

1) Adaptateur. Le comparateur soustrait deux tensions : pour qu'un écart nul signifie $θ = θ_{c}$ , il faut que $θ_{c}$ et $θ$ soient converties avec le même gain, $K_{a} = K_{c}$ . Alors $ε_{m} = K_{c} (θ_{c} - θ)$ , et l'on peut faire passer $K_{c}$ dans la chaîne directe : la boucle équivaut à un retour unitaire, de FTBO $K_{c} \times$ (correcteur et four).

2) Régime permanent. Classe $1$ : pour un échelon de consigne, l'écart mesuré tend vers $0$ (théorème de la valeur finale). Donc $K_{c} θ_{\infty} = K_{a} θ_{c}$ et $θ_{\infty} = θ_{c} = 180^{\circ} C$ : conforme.

3) Capteur dérivé. L'intégrateur annule toujours l'écart mesuré : $K_{c}^{'} θ_{\infty} = K_{a} θ_{c}$ , d'où $θ_{\infty} = \frac{K _{a}}{K _{c}^{'}} θ_{c} = \frac{180}{0 , 985} = 182, 7^{\circ} C$ . Erreur $+ 2, 7^{\circ} C$ : non conforme. Le four est très précis… sur la mauvaise valeur. Deux intégrateurs, ou n'importe quel gain, ne changeraient rien : la boucle ne voit que ce que le capteur lui dit. Seul l'étalonnage du capteur (ou sa vérification périodique par un capteur de référence) corrige ce défaut.

4) Sans adaptateur. FTBF $\frac{G}{1 + G H} = \frac{10/ ( p + 1 )}{1 + 20/ ( p + 1 )} = \frac{10}{p + 21}$ ; sortie finale $\frac{10}{21} = 0, 476$ . Mesure $2 \times 0, 476 = 0, 952$ ; écart mesuré $1 - 0, 952 = 0, 048$ . La boucle est de classe $0$ ( $K_{B O} = 20$ ) : l'écart mesuré vaut $\frac{1}{1 + K _{B O}} = \frac{1}{21}$ . La sortie visée était $0, 5$ : l'erreur réelle est de $4, 8 %$ , la même, en relatif, que l'écart mesuré, parce que capteur et « adaptateur implicite » sont cohérents ici. Sans intégrateur, le gain fini laisse un écart ; avec un capteur faux, même un intégrateur laisse une erreur.

Ce que l'exercice installe. Le comparateur soustrait des tensions : l'adaptateur doit avoir le gain du capteur pour que l'écart mesuré traduise l'erreur réelle, et le schéma se ramène alors à un retour unitaire. Un intégrateur annule l'écart mesuré, pas une erreur du capteur : l'asservissement est aussi juste que son capteur. En classe $0$ , l'écart mesuré vaut $1/ (1 + K_{B O})$ de la consigne.

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