sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Laminoir : la jauge d'épaisseur est trop loin

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · C. Marges de stabilité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un laminoir à froid, l'épaisseur de la tôle est régulée en agissant sur le serrage des cylindres. Sans tenir compte de l'endroit où l'on mesure, la FTBO est $T_{0} (p) = \frac{K}{p ( 1 + 0 , 05 p )}$ , et le réglage $K = 20 s^{- 1}$ a été choisi. Mais la jauge d'épaisseur est placée à $1, 5 m$ en aval des cylindres, et la tôle défile à $10 m/s$ : la mesure est retardée. Exigence : marge de phase d'au moins $4 5^{\circ}$ .

1) Calculer $ω_{0 dB}$ et la marge de phase de $T_{0}$ pour $K = 20$ (on admettra $ω_{0 dB} = 15, 7 rad/s$ , à vérifier).

2) Écrire la FTBO avec le retard de mesure $T_{r}$ . Le retard change-t-il $ω_{0 dB}$ ? Calculer la nouvelle marge de phase. Conclure.

3) Quel retard maximal la boucle réglée à $K = 20$ tolère-t-elle ? À quelle distance cela place-t-il la jauge ?

4) On garde la jauge à $1, 5 m$ : vérifier que $K = 4, 0 s^{- 1}$ (pour lequel $ω_{0 dB} = 3, 94 rad/s$ ) donne $Δ φ = 4 5^{\circ}$ . Que perd-on ?

5) Cas limite : on rapproche la jauge à $0, 5 m$ . Que vaut la marge de phase à $K = 20$ ? (On donne : le gain maximal permis devient $8, 7 s^{- 1}$ .) Conclure.

Corrigé

La stratégie. Un retard pur ne change pas le gain, donc pas $ω_{0 dB}$ : il retranche seulement $ω_{0 dB} T_{r}$ à la phase, donc à la marge. On chiffre cette perte, et l'on en déduit le retard admissible ou le gain qu'il faut sacrifier.

1) Sans retard. $∣ T_{0} (j ω)∣ = \frac{20}{ω 1 + 0 , 0025 ω ^{2}} = 1$ ; en $ω = 15, 7$ : $\frac{20}{15 , 7 \times 1 , 27} = 1, 00$ , vérifié. Phase : $- 9 0^{\circ} - arctan (0, 786) = - 128, 2^{\circ}$ ; $Δ φ = 51, 8^{\circ}$ : conforme sur le papier.

2) Avec le retard. $T_{r} = 1, 5/10 = 0, 15 s$ et $T (p) = T_{0} (p) e^{- T_{r} p}$ . $∣ e^{- j ω T_{r}} ∣ = 1$ : $ω_{0 dB}$ est inchangée. La phase perd $ω_{0 dB} T_{r} = 15, 7 \times 0, 15 = 2, 36 rad = 13 5^{\circ}$ : $Δ φ = 51, 8 - 135 = - 8 3^{\circ}$ . Marge négative : la boucle est instable. L'épaisseur mesurée arrive $0, 15 s$ trop tard pour une boucle qui réagit en $0, 1 s$ .

3) Retard admissible. Il faut $ω_{0 dB} T_{r} \leq 51, 8^{\circ} - 4 5^{\circ} = 6, 8^{\circ} = 0, 119 rad$ , soit $T_{r} \leq 0, 119/15, 7 = 7, 6 ms$ : $7, 6 cm$ de tôle à $10 m/s$ . Aucune jauge ne se loge si près des cylindres.

4) Réduire le gain. Pour $K = 4$ : $∣ T ∣ = \frac{4}{3 , 94 1 + 0 , 0388} = 1, 00$ ; phase $- 90 - arctan (0, 197) - 0, 591 rad = - 90 - 11, 1 - 33, 9 = - 135, 0^{\circ}$ : $Δ φ = 4 5^{\circ}$ , conforme. Mais $ω_{0 dB}$ passe de $15, 7$ à $3, 9 rad/s$ : la boucle est quatre fois plus lente, et le gain, donc la précision vis-à-vis des perturbations, est divisé par cinq.

5) Cas limite. Avec $T_{r} = 0, 05 s$ : perte $15, 7 \times 0, 05 = 0, 786 rad = 4 5^{\circ}$ , $Δ φ = 6, 8^{\circ}$ : encore non conforme à $K = 20$ , et le gain admissible ne monte qu'à $8, 7 s^{- 1}$ . Rapprocher la jauge aide, mais ne suffit pas : on ne peut pas loger un capteur où il le faudrait. Les laminoirs réels compensent le retard dans le calculateur, en prédisant l'épaisseur au droit des cylindres à partir d'un modèle de la cage ; ce type de correction dépasse le programme, mais le besoin se lit ici en chiffres.

Ce que l'exercice installe. Un retard pur ne touche pas au gain ni à $ω_{0 dB}$ ; il retranche $ω_{0 dB} T_{r}$ (en radians) à la marge de phase. On en déduit le retard admissible ( $T_{r} \leq Δ φ_{exc e ˊ dent} / ω_{0 dB}$ ) ou le gain à sacrifier ; le produit $ω_{0 dB} T_{r}$ est le nombre qui compte. Un retard de mesure se paie en rapidité.

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