Limite de stabilité d'un troisième ordre

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · niveau 2

Énoncé

Le polynôme caractéristique d'une boucle fermée est $D (p) = p^{3} + 4 p^{2} + 5 p + K$ , $K$ réel.

Pour quelles valeurs de $K$ la boucle fermée a-t-elle deux pôles imaginaires purs ? Quelle est alors la pulsation des oscillations ?
En déduire la plage de stabilité, en vérifiant numériquement un point de chaque côté.

Corrigé

1. Avec $p = j ω$ : $D (j ω) = (K - 4 ω^{2}) + j ω (5 - ω^{2})$ . Les deux parties s'annulent pour $ω = 0$ (alors $K = 0$ : un pôle en $0$ ) ou pour $ω^{2} = 5$ , soit $ω = 5 = 2.24 rad / s$ et $K = 4 ω^{2} = 20$ .

2. Les pôles dépendent continûment de $K$ et ne peuvent changer de demi-plan qu'en traversant l'axe imaginaire, c'est-à-dire en $K = 0$ ou $K = 20$ . Pour $K = 1$ , les racines (calcul numérique) ont une partie réelle maximale de $- 0, 25$ : stable ; pour $K = 21$ , elle vaut $+ 0, 02$ : instable ; pour $K < 0$ , $D (0) = K < 0$ alors que $D (p) \to + \infty$ quand $p \to + \infty$ : il existe une racine réelle positive. La boucle est stable si et seulement si $0 < K < 20$ ; pour $K = 20$ , elle oscille à $2.24 rad / s$ sans s'amortir.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables