sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Pilote automatique de navire : le modèle disait « toujours stable »

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · B. Stabilité des SLCI · niveau 2

Énoncé

Un porte-conteneurs de $300 m$ tient son cap grâce à un pilote automatique. La dynamique du cap $ψ$ en fonction de l'angle de barre $δ$ suit le modèle de Nomoto : $\frac{Ψ ( p )}{Δ ( p )} = \frac{K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p )}$ , avec $K_{n} = 0, 08 s^{- 1}$ et $T_{n} = 25 s$ . Le correcteur est proportionnel : $δ_{c} = K (ψ_{c} - ψ)$ ( $K$ sans dimension). Exigences : stabilité, avec une marge de phase d'au moins $4 5^{\circ}$ et une marge de gain d'au moins $10 dB$ .

1) On suppose d'abord la barre parfaitement obéissante ( $δ = δ_{c}$ ). Établir la FTBF et montrer que la boucle est stable pour tout $K > 0$ .

2) En réalité, le servomoteur de barre répond comme un premier ordre : $\frac{Δ}{Δ _{c}} = \frac{1}{1 + τ _{b} p}$ , $τ_{b} = 2 s$ . Écrire le polynôme caractéristique de la boucle fermée.

3) Chercher les valeurs de $K$ pour lesquelles la FTBF a deux pôles imaginaires purs $\pm j ω$ : en déduire le gain limite $K_{l i m}$ et la période des oscillations à la limite. Vérifier, en calculant les pôles pour $K = 0, 25$ , que la boucle est stable sous cette limite.

4) Pour $K = 0, 25$ , calculer la marge de gain et la marge de phase (on admettra $ω_{0 dB} = 0, 0182 rad/s$ ). Même question pour $K = 1$ (on donne $Δ φ = 33, 1^{\circ}$ ). Conclure.

5) Quelle leçon tirer du résultat de la question 1 ?

Corrigé

La stratégie. La stabilité se lit sur les pôles de la FTBF, c'est-à-dire sur le polynôme caractéristique. Au second degré, le signe des coefficients suffit ; au-delà, on cherche la frontière : les valeurs du paramètre pour lesquelles deux pôles sont sur l'axe imaginaire. Les marges disent ensuite à quelle distance de cette frontière on se trouve.

1) Modèle simplifié. FTBO $T (p) = \frac{K K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p )}$ , retour unitaire : $F (p) = \frac{K K _{n}}{T _{n} p ^{2} + p + K K _{n}} .$ Polynôme caractéristique du second degré, coefficients $T_{n}$ , $1$ et $K K_{n}$ tous positifs pour $K > 0$ : deux pôles à partie réelle négative, stable pour tout $K$ .

2) Avec le servomoteur. $T (p) = \frac{K K _{n}}{p ( 1 + T _{n} p ) ( 1 + τ _{b} p )}$ , et le polynôme caractéristique est le numérateur de $1 + T$ : $D (p) = T_{n} τ_{b} p^{3} + (T_{n} + τ_{b}) p^{2} + p + K K_{n} = 50 p^{3} + 27 p^{2} + p + 0, 08 K .$

3) Frontière de stabilité. On remplace $p$ par $j ω$ : $D (j ω) = - 50 j ω^{3} - 27 ω^{2} + j ω + 0, 08 K$ . Les parties réelle et imaginaire doivent s'annuler : $- 27 ω^{2} + 0, 08 K = 0 et ω (1 - 50 ω^{2}) = 0.$ D'où $ω^{2} = 1/50$ , $ω = 0, 141 rad/s$ (période $2 π / ω = 44 s$ ), et $K_{l i m} = \frac{27}{50 \times 0 , 08} = 6, 75$ . En général : $K_{l i m} = \frac{T _{n} + τ _{b}}{T _{n} τ _{b} K _{n}}$ . Pour $K = 0, 25$ , les racines de $50 p^{3} + 27 p^{2} + p + 0, 02$ sont (calcul numérique) $- 0, 502$ et $- 0, 0191 \pm 0, 0208 j$ : toutes à partie réelle négative, la boucle est stable. Comme les pôles dépendent continûment de $K$ et ne traversent l'axe imaginaire qu'en $K_{l i m}$ , la boucle est stable pour $0 < K < 6, 75$ et instable au-delà.

4) Marges. À la pulsation $ω_{- 18 0^{\circ}}$ , la phase $- 9 0^{\circ} - arctan (T_{n} ω) - arctan (τ_{b} ω)$ vaut $- 18 0^{\circ}$ , ce qui arrive précisément à la pulsation de la frontière, $0, 141 rad/s$ ; comme le module est proportionnel à $K$ et vaut $1$ pour $K_{l i m}$ , la marge de gain vaut $Δ G = 20 lo g \frac{K _{l i m}}{K}$ . Pour $K = 0, 25$ : $Δ G = 20 lo g 27 = 28, 6 dB$ . Marge de phase en $ω_{0 dB} = 0, 0182 rad/s$ : $φ = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 455) - arctan (0, 0364) = - 90 - 24, 5 - 2, 1 = - 116, 6^{\circ}$ , d'où $Δ φ = 63, 4^{\circ}$ (le modèle simplifié donnerait $65, 5^{\circ}$ ). Conforme. Pour $K = 1$ : $Δ G = 20 lo g 6, 75 = 16, 6 dB$ , mais $Δ φ = 33, 1^{\circ} < 4 5^{\circ}$ : non conforme (et c'est la marge de phase qui le dit).

5) La leçon. Le modèle simplifié était juste, mais incomplet : un actionneur négligé, deux secondes de constante de temps sur une dynamique de vingt-cinq, suffit à rendre la boucle instable pour un gain fini. « Stable pour tout gain » n'est jamais une propriété d'un système réel, seulement d'un modèle ; tout retard ou toute constante de temps oubliée finit par compter quand le gain monte. C'est pour cela qu'on exige des marges.

Ce que l'exercice installe. La stabilité se lit sur les pôles de la FTBF. Au second degré, coefficients de même signe ; au-delà, on cherche la frontière en posant $p = j ω$ et en annulant parties réelle et imaginaire : on obtient le gain limite et la pulsation d'oscillation. La marge de gain est le facteur qui sépare le gain du gain limite. Un modèle simplifié se juge par ce qu'il néglige : une dynamique oubliée peut changer la conclusion.

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