sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Portes palières de métro : un cahier des charges est une zone du plan complexe

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · A. Critères de performance d'un système asservi · niveau 2

Énoncé

Les portes palières d'une ligne de métro automatique sont mues par un moteur asservi en position ; l'ensemble, en boucle fermée, se comporte comme un second ordre de gain $1$ . Exigences : dépassement d'au plus $5 %$ (les vantaux ne doivent pas rebondir) ; temps de réponse à $5 %$ d'au plus $2, 5 s$ . Trois réglages de la commande donnent les pôles suivants de la FTBF (en $s^{- 1}$ ) : réglage A, $- 1, 5 \pm 2 j$ ; réglage B, $- 2, 5 \pm 2, 5 j$ ; réglage C, $- 1, 2 \pm 0, 4 j$ .

1) Montrer que l'exigence de dépassement impose $ξ \geq 0, 69$ . Traduire cette condition en un secteur du plan complexe : quel angle maximal les pôles peuvent-ils faire avec le demi-axe réel négatif ?

2) Avec l'estimation $t_{5%} \approx 3/ (ξ ω_{0})$ , traduire l'exigence de rapidité en un demi-plan. Dessiner la zone autorisée.

3) Pour chaque réglage, calculer $ω_{0}$ , $ξ$ , $D_{1}$ et l'estimation $3/ (ξ ω_{0})$ . Placer les pôles dans la zone.

4) Un calcul exact (abaque) donne $t_{5%} = 2, 09 s$ pour A, $0, 83 s$ pour B, $3, 45 s$ pour C. Conclure pour chaque réglage. Pourquoi l'estimation trompe-t-elle pour C ?

Corrigé

La stratégie. Les deux exigences portent sur deux grandeurs que l'on lit directement sur les pôles d'un second ordre : l'angle (lié à $ξ$ , donc au dépassement) et la partie réelle $- ξ ω_{0}$ (liée à la décroissance de l'enveloppe, donc à la rapidité). On dessine la zone, on y place les pôles, puis on contrôle l'estimation.

1) Dépassement. $D_{1} = 0, 05$ donne $ξ = \frac{∣ ln 0 , 05 ∣}{π ^{2} + ln ^{2} 0 , 05} = \frac{2 , 996}{4 , 341} = 0, 690$ , et $D_{1}$ décroît quand $ξ$ croît : il faut $ξ \geq 0, 69$ . Les pôles $- ξ ω_{0} \pm j ω_{0} 1 - ξ^{2}$ ont pour module $ω_{0}$ ; l'angle $θ$ qu'ils font avec le demi-axe réel négatif vérifie $cos θ = ξ$ . La condition s'écrit $θ \leq arccos 0, 69 = 46, 4^{\circ}$ : les pôles doivent être dans un secteur de demi-angle $46, 4^{\circ}$ autour du demi-axe réel négatif.

2) Rapidité. $\frac{3}{ξ ω _{0}} \leq 2, 5 s$ s'écrit $ξ ω_{0} \geq 1, 2 s^{- 1}$ : partie réelle des pôles $\leq - 1, 2 s^{- 1}$ , un demi-plan à gauche de la droite $Re (p) = - 1, 2$ .

3) Les trois réglages.

A : $ω_{0} = 1, 5^{2} + 2^{2} = 2, 5 rad/s$ , $ξ = 1, 5/2, 5 = 0, 60$ , $D_{1} = 9, 5 %$ , estimation $3/1, 5 = 2, 0 s$ ; angle $5 3^{\circ}$ : hors du secteur.
B : $ω_{0} = 3, 54 rad/s$ , $ξ = 0, 707$ , $D_{1} = 4, 3 %$ , estimation $3/2, 5 = 1, 2 s$ ; angle $4 5^{\circ}$ : dans la zone.
C : $ω_{0} = 1, 26 rad/s$ , $ξ = 0, 949$ , $D_{1} \approx 1 0^{- 4}$ , estimation $3/1, 2 = 2, 5 s$ ; sur la frontière du demi-plan.

4) Conclusions. A : non conforme (dépassement), bien qu'assez rapide. B : $D_{1} = 4, 3 %$ et $t_{5%} = 0, 83 s$ : conforme, avec une large marge de rapidité. C : l'estimation annonçait $2, 5 s$ , la valeur exacte est $3, 45 s$ : non conforme. L'estimation $3/ (ξ ω_{0})$ vient de l'enveloppe $e^{- ξ ω_{0} t}$ des oscillations ; pour $ξ$ proche de $1$ , il n'y a plus d'oscillation à envelopper, et la réponse est gouvernée par une montée lente que l'enveloppe ignore (l'abaque donne $ω_{0} t_{5%} \approx 4, 4$ pour $ξ = 0, 95$ , contre $3/ ξ = 3, 2$ ). Le demi-plan de rapidité n'est fidèle que pour des $ξ$ de l'ordre de $0, 7$ ou moins ; ailleurs, on vérifie à l'abaque.

Ce que l'exercice installe. Les exigences de dépassement et de rapidité se lisent sur les pôles : le dépassement ne dépend que de l'angle ( $cos θ = ξ$ ), la rapidité de la partie réelle $- ξ ω_{0}$ . On dessine la zone autorisée et l'on y place les réglages candidats. Une estimation a un domaine de validité : près de $ξ = 1$ , l'enveloppe trompe, l'abaque tranche.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre