Problème — Genou d'un exosquelette : marge de phase et amortissement

1. $\phi ({\omega }_{0\text{dB}})=-120^{\circ }$ impose $\arctan (0,05{\omega }_{0\text{dB}})=30^{\circ }$ : ${\omega }_{0\text{dB}}=\tan 30^{\circ }/0,05=11.55\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Module unité : $\frac{40K_p}{11,55\sqrt{1+{\tan }^{2}30^{\circ }}}=1$, soit $40K_p=11,55\times 1,155=13,33$ et $K_p=0,333$.

2. $F(p)=\frac{13,33}{0,05p^2+p+13,33}$ : ${\omega }_0=\sqrt{13,33/0,05}=16.3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et $\frac{2\xi }{{\omega }_0}=\frac{1}{13,33}$, donc $\xi =\frac{16,3}{2\times 13,33}=0,612$ ; $D_1=e^{-\pi \times 0,612/0,791}=8,8\%$. Pour toute FTBO de la forme $\frac{K}{p(1+\tau p)}$, marge de phase et amortissement sont liés exactement par $\tan \Delta \phi =\frac{2\xi }{\sqrt{\sqrt{1+4{\xi }^4}-2{\xi }^2}}$ (ici $\tan 60^{\circ }=1,73$ pour $\xi =0,612$) ; la règle empirique $\xi \approx \Delta \phi /100$ ($0,60$, soit $9,5\%$) n'en est qu'une approximation.