sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Problème : le régulateur de vitesse d'une rame à grande vitesse en rampe, ou où placer l'intégrateur

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · D. Précision des systèmes asservis · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une rame à grande vitesse de masse $M = 400 t$ roule à $300 km/h$ ( $83, 3 m/s$ ) ; sa puissance de traction maximale est de $8, 8 MW$ . La résistance à l'avancement vaut (données de l'énoncé) $R (v) = 2, 5 + 0, 03 v + 0, 0005 v^{2}$ en kilonewtons, $v$ en $km/h$ , soit $56, 5 kN$ à $300 km/h$ . Une rampe de déclivité $i$ (en pour mille) ajoute la force $F_{p} = M g i$ ( $g = 9, 81 m/ s^{2}$ ) : $19, 6 kN$ à $5$ pour mille, $137 kN$ à $35$ pour mille, la rampe maximale des lignes à grande vitesse. On admet, pour les petites variations autour de $300 km/h$ , le modèle linéaire $M \frac{d v}{d t} = F_{m} - f v - F_{p}, f = 1188 N s/m,$ où $v$ et $F_{m}$ désignent les variations de la vitesse et de l'effort moteur ( $f$ est la pente de la résistance à $300 km/h$ ). La chaîne de traction répond à la consigne d'effort $F_{c}$ comme un premier ordre de constante de temps $τ_{t} = 1 s$ ; la vitesse est mesurée avec une constante de temps $τ_{c} = 0, 5 s$ (gain $1$ ). Le correcteur élabore $F_{c}$ à partir de l'écart entre la consigne de vitesse et la mesure. Exigences : écart de vitesse permanent d'au plus $1 km/h$ quelle que soit la déclivité (jusqu'à $35$ pour mille) ; marge de phase d'au moins $4 5^{\circ}$ et marge de gain d'au moins $10 dB$ ; lors d'une accélération de consigne à $0, 2 m/ s^{2}$ , retard de vitesse d'au plus $1 km/h$ .

1) Tracer le schéma-blocs à deux entrées (consigne $V_{c}$ , perturbation $F_{p}$ ). Avec un correcteur proportionnel $C (p) = K$ (en $N s/m$ ), écrire la FTBO, donner sa classe et son gain $K_{B O}$ . Sans régulation (effort moteur constant), de combien une rampe de $5$ pour mille fait-elle chuter la vitesse ? Quelle est la constante de temps mécanique ?

2) Le résultat. Pour une chaîne directe $C (p) G_{1} (p)$ avant le point d'application de la perturbation et $G_{2} (p)$ après, et un retour $H (p)$ , établir par superposition $V (p) = \frac{C G _{1} G _{2}}{1 + C G _{1} G _{2} H} V_{c} (p) - \frac{G _{2}}{1 + C G _{1} G _{2} H} F_{p} (p) .$ En déduire, par le théorème de la valeur finale, l'écart permanent dû à un échelon de perturbation, selon que les intégrateurs se trouvent dans $C G_{1}$ ou dans $G_{2}$ . Appliquer au correcteur proportionnel : montrer que la chute de vitesse vaut $F_{p} / (f + K)$ .

3) Correcteur proportionnel : calculer le gain $K$ nécessaire à l'exigence d'écart pour $5$ pour mille puis pour $35$ pour mille. Les marges valent (calcul numérique) : $Δ φ = 76, 5^{\circ}$ , $Δ G = 24, 8 dB$ pour le premier ; $Δ φ = 26, 3^{\circ}$ , $Δ G = 7, 8 dB$ pour le second. Vérifier la première marge de phase en $ω_{0 dB} = 0, 170 rad/s$ . Avec le gain qui donne exactement $Δ φ = 4 5^{\circ}$ , $K = 270 kN s/m$ , quel est l'écart à $35$ pour mille ? Conclure.

4) On adopte le correcteur proportionnel intégral donné $C (p) = K (1 + \frac{1}{T _{i} p})$ , avec $K = 200 kN s/m$ et $T_{i} = 20 s$ , pour lequel on a calculé $Δ φ = 47, 3^{\circ}$ et $Δ G = 14, 9 dB$ . Quel est l'écart permanent en rampe de déclivité ? Quelle est la classe de la FTBO vis-à-vis de la consigne ? Calculer le retard de vitesse lors d'une accélération de consigne à $0, 2 m/ s^{2}$ (une « rampe » de consigne, à ne pas confondre avec la rampe de la voie).

5) Cas limite. À $300 km/h$ , quel effort de traction la puissance maximale permet-elle ? Comparer à l'effort nécessaire sur $5$ pour mille et sur $35$ pour mille. Que devient la vitesse sur $35$ pour mille ? (On donne la vitesse d'équilibre à pleine puissance : $193 km/h$ .) Que vaut alors le résultat de la question 4 ?

6) Conclure sur le cahier des charges, et proposer une rédaction correcte de l'exigence d'écart.

Corrigé

La stratégie. On écrit le modèle sous forme de schéma-blocs à deux entrées, on établit le résultat général par superposition et théorème de la valeur finale, puis on l'applique : d'abord au correcteur proportionnel (où l'on bute sur le conflit précision-stabilité), ensuite au correcteur intégral donné (qui le lève), et l'on finit par le domaine de validité du modèle linéaire.

1) Le modèle. En Laplace : $V (p) = \frac{F _{m} ( p ) - F _{p} ( p )}{f + M p}$ , $F_{m} = \frac{F _{c}}{1 + τ _{t} p}$ , $V_{mes} = \frac{V}{1 + τ _{c} p}$ , $F_{c} = K (V_{c} - V_{mes})$ .

Avec $C = K$ : $T (p) = \frac{K}{( 1 + τ _{t} p ) ( 1 + τ _{c} p ) ( f + M p )} = \frac{K / f}{( 1 + τ _{t} p ) ( 1 + τ _{c} p ) ( 1 + \frac{M}{f} p )}$ : classe $0$ , $K_{B O} = K / f$ . Constante de temps mécanique $M / f = 400 000/1 188 = 337 s$ . Sans régulation, l'effort moteur reste constant et la perturbation seule agit : $Δ v = - p \to 0 lim p \frac{1}{f + M p} \frac{F _{p}}{p} = - \frac{F _{p}}{f} = - \frac{19 620}{1 188} = - 16, 5 m/s = - 59 km/h$ , atteints en quelques fois $337 s$ . Le conducteur, ou le régulateur, doit réagir.

2) Le résultat. Le système est linéaire : on additionne l'effet de chaque entrée, l'autre étant nulle. Consigne seule : chaîne directe $C G_{1} G_{2}$ , retour $H$ , d'où le premier terme (Black). Perturbation seule : de $F_{p}$ à $V$ , la chaîne directe est $- G_{2}$ , et la boucle comprend toujours $C G_{1} G_{2} H$ , d'où le second terme. Pour un échelon $F_{p} / p$ : $Δ v_{\infty} = - p \to 0 lim \frac{G _{2} ( p )}{1 + C ( p ) G _{1} ( p ) G _{2} ( p ) H ( p )} F_{p} .$ Si $C G_{1}$ contient $α_{1} \geq 1$ intégrateurs, $C G_{1} \to \infty$ quand $p \to 0$ et la fraction tend vers $\frac{1}{C G _{1} H} \to 0$ : écart nul. Si $C G_{1}$ n'en contient pas et que les intégrateurs sont dans $G_{2}$ , la fraction tend vers $\frac{1}{( C G _{1} H ) ( 0 )}$ , fini et non nul. Pour le correcteur proportionnel ( $G_{1} = \frac{1}{1 + τ _{t} p}$ , $G_{2} = \frac{1}{f + M p}$ , $H (0) = 1$ ) : $Δ v_{\infty} = - \frac{1/ f}{1 + K / f} F_{p} = - \frac{F _{p}}{f + K} .$ La régulation divise la chute par $1 + K_{B O}$ ; elle ne l'annule pas.

3) Le correcteur proportionnel. $1 km/h = 0, 278 m/s$ . À $5$ pour mille : $K \geq \frac{19 620}{0 , 278} - 1188 = 69400 N s/m$ ( $K_{B O} = 58, 5$ ). Vérification de la marge en $0, 170 rad/s$ : $φ = - arctan (337 \times 0, 170) - arctan (0, 170) - arctan (0, 085) = - 89, 0 - 9, 7 - 4, 9 = - 103, 6^{\circ}$ , $Δ φ = 76, 4^{\circ}$ , conforme, comme $Δ G = 24, 8 dB$ . À $35$ pour mille : $K \geq \frac{137 340}{0 , 278} - 1188 = 493000 N s/m$ , pour lequel $Δ φ = 26, 3^{\circ}$ et $Δ G = 7, 8 dB$ : non conforme. Au gain de la marge de $4 5^{\circ}$ ( $270 kN s/m$ ), la chute à $35$ pour mille vaut $\frac{137 340}{1 188 + 270 000} \times 3, 6 = 1, 8 km/h$ : non conforme. Aucun gain proportionnel ne tient l'écart et les marges à la fois.

4) Le correcteur proportionnel intégral. Son intégrateur est dans $C$ , donc en amont du point d'application de $F_{p}$ : d'après la question 2, l'écart permanent dû à une rampe de voie est nul, quelle que soit la déclivité. Les marges ( $47, 3^{\circ}$ et $14, 9 dB$ ) sont conformes. Vis-à-vis de la consigne, la FTBO $T (p) = K \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p} \cdot \frac{1}{( 1 + τ _{t} p ) ( 1 + τ _{c} p ) ( f + M p )}$ est de classe 1, de gain $K_{v} = \frac{K}{f T _{i}} = \frac{200 000}{1 188 \times 20} = 8, 42 s^{- 1}$ . Une accélération de consigne $a$ est une rampe de vitesse, $V_{c} = a / p^{2}$ : l'erreur de traînage vaut $a / K_{v} = 0, 2/8, 42 = 0, 024 m/s = 0, 09 km/h$ : conforme. (« Rampe » de la voie : une perturbation en échelon ; « rampe » de consigne : une vitesse qui croît linéairement. Le même mot désigne deux entrées différentes.)

5) Cas limite : la puissance. À $300 km/h$ , l'effort disponible vaut $P / v = 8, 8 \times 1 0^{6} /83, 3 = 105, 6 kN$ . Il faut $56, 5 + 19, 6 = 76, 1 kN$ sur $5$ pour mille : disponible ; mais $56, 5 + 137, 3 = 193, 8 kN$ sur $35$ pour mille : impossible. La traction sature, le correcteur intégral accumule un écart qu'aucun effort ne peut résorber, et la rame ralentit jusqu'à l'équilibre $P = (R (v) + F_{p}) v$ , soit $193 km/h$ . Le modèle linéaire, valable pour de petites variations sans saturation, ne s'applique plus : l'écart nul de la question 4 n'est garanti que dans le domaine de validité du modèle.

6) Conclusion. Avec le correcteur proportionnel intégral, l'exigence d'écart, les marges et l'exigence de poursuite sont tenues tant que la puissance suffit, c'est-à-dire sur les déclivités courantes ; sur une rampe de $35$ pour mille, aucune régulation ne tient $300 km/h$ avec $8, 8 MW$ . L'exigence correcte se rédige : « écart de vitesse permanent d'au plus $1 km/h$ sur toute déclivité, dans la limite de la puissance disponible ».

Résultat établi : précision d'un système asservi, consigne et perturbation. Pour une boucle de FTBO de classe $α$ et de gain $K_{B O}$ (retour de gain statique unitaire), l'écart permanent vaut $\frac{e _{0}}{1 + K _{B O}}$ en échelon si $α = 0$ , $0$ si $α \geq 1$ ; en rampe $v_{0} t$ , il vaut $\frac{v _{0}}{K _{v}}$ si $α = 1$ , $0$ si $α \geq 2$ . Vis-à-vis d'une perturbation en échelon, l'écart permanent n'est nul que si un intégrateur se trouve entre le comparateur et le point d'application de la perturbation ; sinon il vaut $\frac{F _{p}}{1/ G _{2} ( 0 ) + ( C G _{1} ) ( 0 )}$ et ne diminue qu'avec le gain, que la stabilité limite.

Ce que le problème installe. Le chemin complet de l'étude de précision : schéma-blocs à deux entrées, superposition, théorème de la valeur finale, puis la règle qui dit où placer l'intégrateur. On confronte toujours la précision aux marges, on reconnaît le conflit qui oblige à changer de structure, on vérifie le domaine de validité du modèle (saturation de puissance) et l'on rédige l'exigence avec ses conditions.

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