sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Tête de lecture optique : laquelle des deux marges commande ?

Performances des Systèmes Asservis et Stabilité · C. Marges de stabilité · niveau 2

Énoncé

L'asservissement de focalisation d'une tête de lecture optique a pour FTBO $T (p) = \frac{K}{p ( 1 + 1 0 ^{- 3} p ) ( 1 + 1 0 ^{- 4} p )} .$ Exigences : $Δ φ \geq 4 5^{\circ}$ et $Δ G \geq 10 dB$ ; parmi les réglages qui les tiennent, on veut le gain $K$ le plus grand possible (il fait la précision et la rapidité).

1) Calculer la pulsation $ω_{- 18 0^{\circ}}$ et le module de $T$ à cette pulsation. En déduire le gain limite de stabilité, puis la plus grande valeur de $K$ qui tient l'exigence de marge de gain.

2) Pour cette valeur de $K$ , calculer $ω_{0 dB}$ (on admettra $1722 rad/s$ ) et la marge de phase. Conclure.

3) Trouver la pulsation où la phase vaut $- 13 5^{\circ}$ , puis la valeur de $K$ qui en fait la pulsation de coupure. Vérifier la marge de gain.

4) Conclure : quel est le gain retenu et quelle marge commande ? Tracer l'allure du diagramme de Bode pour ce gain.

Corrigé

La stratégie. La marge de gain borne $K$ par le haut via $ω_{- 18 0^{\circ}}$ , qui ne dépend pas de $K$ ; la marge de phase borne $K$ via $ω_{0 dB}$ , qui en dépend. On calcule les deux bornes et l'on garde la plus sévère.

1) Marge de gain. $ar g T = - 9 0^{\circ} - arctan (1 0^{- 3} ω) - arctan (1 0^{- 4} ω) = - 18 0^{\circ}$ impose $arctan a + arctan b = 9 0^{\circ}$ , soit $ab = 1$ avec $a = 1 0^{- 3} ω$ , $b = 1 0^{- 4} ω$ : $ω_{- 18 0^{\circ}} = 1 0^{7} = 3162 rad/s$ . Module : $∣ T ∣ = \frac{K}{3 162 1 + 10 1 + 0 , 1} = \frac{K}{11 000}$ . Gain limite $K_{l i m} = 11000 s^{- 1}$ . $Δ G \geq 10 dB$ impose $∣ T ∣ \leq 1 0^{- 1/2}$ , soit $K \leq 11 000/3, 162 = 3479 s^{- 1}$ .

2) Marge de phase à $K = 3479$ . $φ (1722) = - 90 - arctan 1, 722 - arctan 0, 172 = - 90 - 59, 9 - 9, 8 = - 159, 6^{\circ}$ : $Δ φ = 20, 4^{\circ}$ , non conforme. La marge de gain ne suffit pas à garantir la marge de phase.

3) Marge de phase de $4 5^{\circ}$ . Il faut $arctan a + arctan b = 4 5^{\circ}$ , soit $\frac{a + b}{1 - ab} = 1$ : $1, 1 \times 1 0^{- 3} ω = 1 - 1 0^{- 7} ω^{2}$ , d'où $1 0^{- 7} ω^{2} + 1, 1 \times 1 0^{- 3} ω - 1 = 0$ et $ω = 844 rad/s$ . Pour que ce soit la pulsation de coupure : $K = 844 1 + 0, 84 4^{2} 1 + 0, 084 4^{2} = 844 \times 1, 309 \times 1, 004 = 1109 s^{- 1}$ . Marge de gain : $20 lo g \frac{11 000}{1 109} = 19, 9 dB \geq 10$ : conforme.

4) Conclusion. Le gain retenu est $K = 1109 s^{- 1}$ : c'est la marge de phase qui commande (elle impose une borne trois fois plus sévère). La marge de gain est alors de $19, 9 dB$ , double de l'exigence.

(Traits verticaux : $ω_{0 dB} = 844 rad/s$ , où la phase vaut $- 13 5^{\circ}$ ; $ω_{- 18 0^{\circ}} = 3162 rad/s$ , où le gain vaut $- 19, 9 dB$ .)

Ce que l'exercice installe. Chaque marge borne le gain : la marge de gain par $ω_{- 18 0^{\circ}}$ (indépendante du gain), la marge de phase par $ω_{0 dB}$ (qui monte avec lui). On calcule les deux bornes et l'on retient la plus sévère ; tenir l'une n'assure pas l'autre. Le calcul se fait à la main grâce à $arctan a + arctan b$ : $ab = 1$ pour $9 0^{\circ}$ , $\frac{a + b}{1 - ab} = 1$ pour $4 5^{\circ}$ .

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