Action dérivée sur un double intégrateur

Correction des Systèmes Asservis · niveau 1 (application)

Énoncé

Un satellite sans frottement, commandé en attitude par un couple, est modélisé par $G (p) = \frac{1}{J p ^{2}}$ (boucle à retour unitaire).

Montrer qu'un correcteur proportionnel $C (p) = K_{p} > 0$ conduit à une oscillation non amortie.
Montrer qu'un correcteur proportionnel dérivé $C (p) = K_{p} (1 + T_{d} p)$ , donné, rend la boucle stable, et exprimer $ω_{0}$ et $ξ$ .

Corrigé

1. La fonction de transfert en boucle fermée vaut $\frac{K _{p}}{J p ^{2} + K _{p}}$ : son dénominateur n'a pas de terme en $p$ , ses pôles sont imaginaires purs, $p = \pm j K_{p} / J$ . La sortie oscille sans fin à la pulsation $K_{p} / J$ .

2. Le dénominateur devient $J p^{2} + K_{p} T_{d} p + K_{p}$ . Un polynôme de degré 2 a ses deux racines à partie réelle négative si et seulement si ses trois coefficients sont de même signe : c'est le cas pour $K_{p} > 0$ et $T_{d} > 0$ . Par identification avec $\frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}} + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + 1$ : $ω_{0} = K_{p} / J$ et $ξ = \frac{T _{d}}{2} \frac{K _{p}}{J} = \frac{T _{d} ω _{0}}{2}$ . Le zéro $- 1/ T_{d}$ ajoute du dépassement à la réponse indicielle : le $ξ$ du dénominateur ne suffit pas à le prédire.

Énoncé

Corrigé

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