sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Axe de robot de tri : une cellule d'avance donnée, ce qu'elle rapporte et ce qu'elle coûte

Correction des Systèmes Asservis · B. Correcteur à avance de phase · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un robot de tri de colis déplace sa pince le long d'un axe à courroie, entraîné par un moteur à courant continu asservi en position par un codeur. Correcteur proportionnel compris, la boucle ouverte s'écrit $T_{1} (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + τ p )}$ avec $τ = 20 ms$ ( $K_{v}$ en $s^{- 1}$ ). Exigences : erreur de traînage au plus $5 mm$ quand la consigne avance à $1 m s^{- 1}$ ; marge de phase au moins $4 5^{\circ}$ . Le constructeur propose d'ajouter dans la chaîne directe une cellule donnée : $C_{a} (p) = \frac{1 + a τ ^{'} p}{1 + τ ^{'} p}$ avec $a = 4$ et $τ^{'} = 4 ms$ .

1) Sans cellule, quelle valeur de $K_{v}$ impose l'exigence de traînage ? Justifier par la valeur finale.

2) Pour cette valeur, calculer la pulsation de coupure et la marge de phase de $T_{1}$ . Conclure.

3) Écrire le gain et la phase de la cellule ; tracer l'allure de son diagramme de Bode. Établir que sa phase est maximale en $ω_{m} = \frac{1}{τ ^{'} a}$ , et calculer $ω_{m}$ , la phase maximale $φ_{m}$ (avec $sin φ_{m} = \frac{a - 1}{a + 1}$ ) et le gain en $ω_{m}$ .

4) Avec la cellule, la nouvelle pulsation de coupure est $ω_{c}^{'} = 143 rad s^{- 1}$ . Le vérifier, puis calculer la nouvelle marge de phase. L'erreur de traînage a-t-elle changé ?

5) Les réponses indicielles simulées donnent, sans puis avec la cellule : $D_{1} = 44 %$ puis $13, 7 %$ ; $t_{5%} = 108 ms$ puis $30 ms$ . Que coûte la cellule en haute fréquence ? Le codeur a une résolution de $0, 01 mm$ ; que devient l'effet d'un incrément de bruit de mesure sur la commande ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Le traînage fixe le gain ; le gain fixe la coupure ; la coupure fixe la marge. Si la marge manque, la cellule ajoute de la phase sans toucher au gain statique, donc sans toucher au traînage.

1) Le traînage. Pour une rampe $x_{c} (t) = v_{0} t$ , $X_{c} (p) = v_{0} / p^{2}$ et $ε (p) = \frac{v _{0}}{p ^{2}} \cdot \frac{p ( 1 + τ p )}{p ( 1 + τ p ) + K _{v}}$ . La valeur finale donne $ε_{\infty} = lim_{p \to 0} \frac{v _{0} ( 1 + τ p )}{p ( 1 + τ p ) + K _{v}} = \frac{v _{0}}{K _{v}}$ . L'exigence $\frac{1 m s ^{- 1}}{K _{v}} \leq 5 mm$ impose $K_{v} \geq 200 s^{- 1}$ .

2) La marge sans cellule. $ω_{c} 1 + (0, 02 ω_{c})^{2} = 200$ : en posant $u = ω_{c}^{2}$ , $4 \cdot 1 0^{- 4} u^{2} + u - 4 \cdot 1 0^{4} = 0$ , d'où $u = 8828$ et $ω_{c} = 94, 0 rad s^{- 1}$ . Puis $M_{φ} = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - arctan (0, 02 \times 94, 0) = 9 0^{\circ} - 62, 0^{\circ} = 28, 0^{\circ}$ . Non conforme : la marge exigée est $4 5^{\circ}$ . Le gain imposé par la précision dégrade la stabilité : c'est encore le dilemme du chapitre.

3) La cellule. $C_{a} (j ω) = \frac{1 + j a τ ^{'} ω}{1 + j τ ^{'} ω}$ : gain $\frac{1 + a ^{2} τ ^{'2} ω ^{2}}{1 + τ ^{'2} ω ^{2}}$ , de $1$ ( $0 dB$ ) en basse fréquence à $a$ ( $+ 12 dB$ ) en haute fréquence ; phase $φ (ω) = arctan (a τ^{'} ω) - arctan (τ^{'} ω) > 0$ , nulle aux deux extrémités. En posant $x = τ^{'} ω$ , $tan φ = \frac{( a - 1 ) x}{1 + a x ^{2}}$ , maximal quand $\frac{1}{x} + a x$ est minimal, soit $x = \frac{1}{a}$ : $ω_{m} = \frac{1}{τ ^{'} a} = \frac{1}{0 , 004 \times 2} = 125 rad s^{- 1}$ . Alors $tan φ_{m} = \frac{a - 1}{2 a}$ , équivalent à $sin φ_{m} = \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{3}{5}$ : $φ_{m} = 36, 9^{\circ}$ . Le gain en $ω_{m}$ vaut $a = 2$ ( $+ 6 dB$ ), moyenne géométrique des deux paliers.

4) La marge avec cellule. En $ω = 143 rad s^{- 1}$ : $∣ T_{1} ∣ = \frac{200}{143 1 + 2 , 8 6 ^{2}} = 0, 461$ et $∣ C_{a} ∣ = \frac{1 + 2 , 2 9 ^{2}}{1 + 0 , 57 2 ^{2}} = 2, 17$ ; le produit vaut $1, 00$ : c'est bien la coupure. La phase du procédé y vaut $- 9 0^{\circ} - arctan (2, 86) = - 160, 7^{\circ}$ et celle de la cellule $arctan (2, 29) - arctan (0, 572) = 36, 6^{\circ}$ ; d'où $M_{φ}^{'} = 18 0^{\circ} - 160, 7^{\circ} + 36, 6^{\circ} = 55, 9^{\circ}$ : conforme. La cellule a été centrée sur la nouvelle coupure ( $ω_{m} = 125$ , tout près de $143$ ) : elle y apporte presque toute sa phase maximale. Son gain statique vaut $1$ et la classe ne change pas : l'erreur de traînage reste $\frac{v _{0}}{K _{v}} = 5 mm$ : conforme.

5) Le prix. La boucle est trois fois et demie plus rapide ( $30 ms$ au lieu de $108$ ) et bien moins oscillante. En revanche, au-delà de $1/ τ^{'} = 250 rad s^{- 1}$ , la cellule multiplie tout signal par $a = 4$ ( $+ 12 dB$ ) : un incrément de codeur, $0, 01 mm$ , vu comme un saut d'erreur, produit sur la commande un saut quatre fois plus grand qu'avec le seul correcteur proportionnel. C'est la limite pratique de l'avance de phase : on ne dépasse guère $a = 10$ (apport $54, 9^{\circ}$ ). Conclusion : avec la cellule donnée, le traînage et la marge sont conformes ; il reste à vérifier que le variateur accepte ce bruit de commande.

Ce que l'exercice installe. Une cellule d'avance de phase est un correcteur dont on sait lire le diagramme de Bode : phase maximale $φ_{m}$ telle que $sin φ_{m} = \frac{a - 1}{a + 1}$ en $ω_{m} = \frac{1}{τ ^{'} a}$ , gain multiplié par $a$ en $ω_{m}$ et par $a$ en haute fréquence. Elle rachète la marge qu'un gain fort avait coûtée sans toucher à la précision ; elle se paie en sensibilité au bruit.

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