Complément (deuxième année) — correcteur PI par compensation du pôle dominant

Correction des Systèmes Asservis · niveau 2

Énoncé

Un procédé a pour modèle $G (p) = \frac{4}{( 1 + 2 p ) ( 1 + 0 , 2 p )}$ . On implante un correcteur proportionnel intégral $C (p) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p}$ .

Choisir $T_{i}$ pour compenser le pôle dominant du procédé.
Donner la fonction de transfert en boucle ouverte résultante et l'écart statique.
Déterminer $K_{p}$ pour obtenir une marge de phase de $5 3^{\circ}$ .

Corrigé

1. Le pôle dominant est celui de plus grande constante de temps, $2 s$ : on prend $T_{i} = 2 s$ , pour que le zéro du correcteur annule ce pôle.

2. $T (p) = K_{p} \frac{1 + 2 p}{2 p} \cdot \frac{4}{( 1 + 2 p ) ( 1 + 0 , 2 p )} = \frac{2 K _{p}}{p ( 1 + 0 , 2 p )}$ : classe 1, écart statique nul pour un échelon de consigne.

3. La phase vaut $- 9 0^{\circ} - arctan (0, 2 ω)$ ; une marge de $5 3^{\circ}$ impose en $ω_{c}$ $arctan (0, 2 ω_{c}) = 3 7^{\circ}$ , soit $0, 2 ω_{c} = tan 3 7^{\circ} = 0, 754$ et $ω_{c} = 3, 77 rad s^{- 1}$ . La condition de gain $∣ T (j ω_{c})∣ = 1$ donne

$\frac{2 K _{p}}{3 , 77 1 + 0 , 75 4 ^{2}} = 1 ⟹ K_{p} = \frac{3 , 77 \times 1 , 252}{2} = 2, 36.$

Complément (deuxième année) — correcteur PI par compensation du pôle dominant

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Corrigé

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