Gain proportionnel et marge de gain

Correction des Systèmes Asservis · niveau 1 (application)

Énoncé

Un système a pour fonction de transfert en boucle ouverte $T (p) = \frac{K _{p}}{p ( 1 + 0 , 1 p ) ( 1 + 0 , 05 p )}$ . Déterminer la valeur du gain $K_{p}$ pour laquelle la marge de gain vaut $12 dB$ , et dire comment la marge évolue si l'on augmente $K_{p}$ .

Corrigé

La phase vaut $φ (ω) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 1 ω) - arctan (0, 05 ω)$ ; elle atteint $- 18 0^{\circ}$ quand $arctan (0, 1 ω) + arctan (0, 05 ω) = 9 0^{\circ}$ , c'est-à-dire quand les deux angles sont complémentaires : $0, 1 ω \times 0, 05 ω = 1$ , soit $ω_{180} = 200 = 14, 14 rad s^{- 1}$ . Pour $K_{p} = 1$ , le module y vaut

$∣ T_{1} (j ω_{180})∣ = \frac{1}{200 1 + 2 1 + 0 , 5} = \frac{1}{900} = \frac{1}{30} .$

Une marge de gain de $12 dB$ impose $∣ T (j ω_{180})∣ = 1 0^{- 12/20} = 0, 251$ , d'où $K_{p} = 30 \times 0, 251 = 7, 54$ (l'arrondi $1/4$ donne $7, 5$ , soit une marge de $12, 04 dB$ ). Le gain ne déplace pas $ω_{180}$ : chaque doublement de $K_{p}$ retire $6 dB$ de marge, et la boucle devient instable pour $K_{p} = 30$ .

Énoncé

Corrigé

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