Problème — Complément (deuxième année) : robot de micro-chirurgie de l'œil

Correction des Systèmes Asservis · niveau 2

Énoncé

Un robot porte-aiguille pour la chirurgie de la rétine doit positionner son outil à $5 μ m$ près (précision micrométrique). Le cahier des charges demande une réponse indicielle sans dépassement, pour ne pas perforer la rétine. La boucle ouverte non corrigée est $K_{m} G (p)$ avec $G (p) = \frac{1}{p ( 1 + 0 , 01 p )}$ .

Dimensionner un correcteur $C (p) = K_{d} \frac{1 + a τ p}{1 + τ p}$ donnant une marge de phase de $6 5^{\circ}$ à $ω_{c} = 100 rad s^{- 1}$ : calculer $a$ , $τ$ et le produit $K_{d} K_{m}$ .
On donne la réponse indicielle simulée de la boucle corrigée : premier dépassement $3, 7 %$ . Comparer à l'estimation « $ξ \approx M_{φ} /100$ » et conclure sur le cahier des charges.

Corrigé

1. $φ_{G} (100) = - 9 0^{\circ} - arctan 1 = - 13 5^{\circ}$ ; on veut $- 11 5^{\circ}$ : $φ_{m} = 2 0^{\circ}$ , d'où $a = \frac{1 + sin 2 0 ^{\circ}}{1 - sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{1 , 342}{0 , 658} = 2, 04$ et $τ = \frac{1}{100 2 , 04} = 7, 00 ms$ (zéro en $70 rad s^{- 1}$ , pôle en $143 rad s^{- 1}$ ). Condition de gain en $ω_{c}$ : $K_{d} K_{m} a \frac{1}{100 2} = 1$ , soit $K_{d} K_{m} = \frac{141 , 4}{1 , 428} = 99, 0 s^{- 1}$ .

2. La règle approchée $ξ \approx M_{φ} /100 = 0, 65$ , valable pour un deuxième ordre, prédit $D_{1} = exp (- π \times 0, 65/ 1 - 0, 6 5^{2}) = 6, 8 %$ ; la simulation, qui tient compte du troisième pôle et du zéro de la cellule, donne $3, 7 %$ . Dans les deux cas, la réponse dépasse : le cahier des charges (« sans dépassement ») n'est pas tenu. Il faudrait une marge plus grande, donc une coupure plus basse, ou une consigne filtrée. Le modèle ignore en outre la résonance des tissus de l'œil vers $15 Hz$ ( $94 rad s^{- 1}$ ), juste sous la coupure visée : c'est un risque que la marge ne mesure pas.

Problème — Complément (deuxième année) : robot de micro-chirurgie de l'œil

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