Problème — Complément (deuxième année) : vanne de conduite forcée, PI et retard pur

Correction des Systèmes Asservis · niveau 2

Énoncé

Dans une conduite forcée, le débit réagit à l'ouverture d'une vanne avec un retard de propagation $τ = 0, 5 s$ : $G (p) = \frac{2 e ^{- 0, 5 p}}{1 + 4 p}$ . On implante un correcteur proportionnel intégral $C (p) = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} p})$ .

On prend $T_{i} = 4 s$ (compensation du pôle). Écrire la boucle ouverte.
Déterminer $K_{p}$ pour une marge de phase de $4 5^{\circ}$ .
Établir la borne de la pulsation de coupure imposée par le retard pour une marge $M_{φ}$ donnée.

Corrigé

1. $T (p) = K_{p} \frac{1 + 4 p}{4 p} \cdot \frac{2 e ^{- 0, 5 p}}{1 + 4 p} = \frac{0 , 5 K _{p} e ^{- 0, 5 p}}{p}$ .

2. Le retard a un module égal à $1$ et une phase de $- 0, 5 ω$ radians : la phase de $T$ vaut $- 9 0^{\circ} - 0, 5 ω \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = - 9 0^{\circ} - 28, 6 5^{\circ} ω$ . Une marge de $4 5^{\circ}$ impose $28, 6 5^{\circ} ω_{c} = 4 5^{\circ}$ , soit $ω_{c} = \frac{π}{2} = 1, 57 rad s^{- 1}$ . La condition de gain $\frac{0 , 5 K _{p}}{ω _{c}} = 1$ donne $K_{p} = 2 ω_{c} = π \approx 3, 14$ .

3. Pour une boucle ouverte formée d'un intégrateur et d'un retard, la marge vaut $M_{φ} = π - \frac{π}{2} - ω_{c} τ$ (en radians), d'où

$ω_{c} \leq \frac{π /2 - M _{φ}}{τ},$

soit ici $\frac{π /4}{0 , 5} = 1, 57 rad s^{- 1}$ : on retrouve la valeur du 2. La borne parfois écrite $(π - M_{φ}) / τ$ (ici $4, 71 rad s^{- 1}$ ) oublie les $9 0^{\circ}$ de l'intégrateur : elle est fausse pour cette boucle. Aucun réglage ne dépasse cette borne ; seule une installation au retard plus court le peut, ce qui fixe la cadence de manœuvre de la vanne.

Problème — Complément (deuxième année) : vanne de conduite forcée, PI et retard pur

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Corrigé

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