sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Travelling de stade : suivre un sprinteur sans toucher à la stabilité

Correction des Systèmes Asservis · C. Structures de correction avancées · niveau 2

Énoncé

Un chariot porte-caméra roule sur un rail le long de la piste et filme un sprinteur. Variateur, moteur et courroie forment le procédé $G (p) = \frac{K}{p ( 1 + τ p )}$ , avec $τ = 0, 05 s$ ; le correcteur est proportionnel, $C (p) = K_{c}$ , et l'on note $K_{v} = K_{c} K = 10 s^{- 1}$ . La consigne de position $x_{c} (t)$ est la position du coureur, mesurée en temps réel. Exigence : écart de cadrage au plus $0, 1 m$ en régime établi quand le coureur court à $10 m s^{- 1}$ ; marge de phase au moins $4 5^{\circ}$ .

1) Donner la classe de la boucle ouverte, l'amortissement de la boucle fermée et sa marge de phase (on donne $ω_{c} = 9, 10 rad s^{- 1}$ ).

2) Calculer l'erreur de traînage à $10 m s^{- 1}$ . Conclure.

3) Quel $K_{v}$ faudrait-il pour tenir l'écart ? Calculer alors $ξ$ , le dépassement et la marge de phase (on donne $ω_{c} = 42, 5 rad s^{- 1}$ ). Conclure.

4) On garde $K_{v} = 10 s^{- 1}$ et l'on ajoute une anticipation : la commande reçoit, en plus de $K_{c} ε$ , le terme $F (p) X_{c} (p)$ calculé sur la consigne, avec $F (p) = \frac{p}{K}$ (la vitesse de consigne divisée par le gain du procédé). Faire le schéma-blocs ; établir $ε (p)$ en fonction de $X_{c} (p)$ ; montrer que le dénominateur de la boucle fermée n'a pas changé et calculer l'erreur de traînage.

5) Le coureur accélère à $4 m s^{- 2}$ pendant $2, 5 s$ avant d'atteindre $10 m s^{- 1}$ . Calculer l'écart pendant l'accélération, avec et sans anticipation.

Corrigé

La stratégie. L'erreur de traînage d'une boucle de classe 1 vaut $v_{0} / K_{v}$ : pour la réduire en gardant la stabilité, on ne touche pas à la boucle, on ajoute une action qui ne passe pas par l'écart.

1) La boucle telle quelle. $T (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + τ p )}$ est de classe 1. Boucle fermée : $τ p^{2} + p + K_{v}$ , $ω_{0} = K_{v} / τ = 14, 1 rad s^{- 1}$ , $ξ = \frac{1}{2 K _{v} τ} = \frac{1}{2 0 , 5} = 0, 707$ . Marge : $M_{φ} = 9 0^{\circ} - arctan (0, 05 \times 9, 10) = 9 0^{\circ} - 24, 5^{\circ} = 65, 5^{\circ}$ .

2) Le traînage. Comme à l'exercice sur le robot de tri, $ε_{\infty} = \frac{v _{0}}{K _{v}} = \frac{10}{10} = 1, 0 m$ : non conforme ( $0, 1 m$ exigé). Le sprinteur sortirait du cadre.

3) Monter le gain ? Il faut $K_{v} \geq \frac{10}{0 , 1} = 100 s^{- 1}$ ; alors $ξ = \frac{1}{2 100 \times 0 , 05} = 0, 224$ , $D_{1} = exp (- \frac{π \times 0 , 224}{1 - 0 , 05}) = 48, 6 %$ et $M_{φ} = 9 0^{\circ} - arctan (0, 05 \times 42, 5) = 25, 2^{\circ}$ : non conforme à la marge. Le gain ne peut pas tenir les deux exigences.

4) L'anticipation. La commande vaut $U = K_{c} ε + F X_{c}$ , et $X = G U$ . Avec $ε = X_{c} - X$ : $ε = X_{c} - G (K_{c} ε + F X_{c}) ⟹ ε (p) = \frac{1 - F ( p ) G ( p )}{1 + K _{c} G ( p )} X_{c} (p) .$ Le dénominateur $1 + K_{c} G$ est celui de la boucle sans anticipation : les pôles, donc la stabilité et les marges, sont inchangés, puisque l'anticipation n'est pas dans la boucle. Avec $F = p / K$ : $1 - F G = 1 - \frac{1}{1 + τ p} = \frac{τ p}{1 + τ p}$ , d'où $ε (p) = \frac{τ p}{1 + τ p} \cdot \frac{p ( 1 + τ p )}{p ( 1 + τ p ) + K _{v}} X_{c} (p) = \frac{τ p ^{2}}{τ p ^{2} + p + K _{v}} X_{c} (p) .$ Pour une rampe, $X_{c} = v_{0} / p^{2}$ : $ε_{\infty} = lim_{p \to 0} \frac{τ v _{0} p}{τ p ^{2} + p + K _{v}} = 0$ . L'erreur de traînage est nulle : conforme, et la marge reste $65, 5^{\circ}$ .

5) Pendant l'accélération. Pour $x_{c} = \frac{1}{2} a_{0} t^{2}$ , $X_{c} = a_{0} / p^{3}$ . Sans anticipation, l'écart suit la vitesse : il vaut à peu près $v (t) / K_{v}$ et monte jusqu'à $1, 0 m$ . Avec anticipation, $ε_{\infty} = lim_{p \to 0} \frac{τ a _{0}}{τ p ^{2} + p + K _{v}} = \frac{τ a _{0}}{K _{v}} = \frac{0 , 05 \times 4}{10} = 0, 02 m$ pendant toute l'accélération, puis $0$ : conforme. L'anticipation de vitesse ne compense pas l'inertie du procédé (le terme en $τ p$ de $G$ ) ; ajouter l'accélération de consigne, $F (p) = \frac{p ( 1 + τ p )}{K}$ , annulerait aussi ce reste, au prix d'une consigne à dériver deux fois.

Ce que l'exercice installe. L'écart vis-à-vis de la consigne vaut $\frac{1 - F G}{1 + C G} X_{c}$ : une action d'anticipation agit sur le numérateur (le suivi) sans toucher au dénominateur (la stabilité). C'est la seule structure qui améliore la précision sans rien coûter en marge ; elle exige de connaître le modèle du procédé, et elle ne corrige rien de ce qui n'est pas prévu (les perturbations).

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