sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Axe de machine-outil : vis à billes, courroie et codeur, un seul rapport possible

Géométrie et Cinématique des Mécanismes · B. Le torseur cinématique et formule du champ des vitesses (Varignon) · niveau 2

Énoncé

La table d'une machine-outil est déplacée par une vis à billes de pas $p = 10 mm$ (un filet), en liaison hélicoïdale avec l'écrou fixé sous la table ; la table est guidée en glissière sur le bâti. La vis est entraînée par un servomoteur à travers une transmission par poulies et courroie crantée de rapport $k = ω_{vis} / ω_{moteur}$ . Le moteur tourne au plus à $3000 tr mi n^{- 1}$ ; sa position est mesurée par un codeur incrémental de $2500$ points, lus quatre fois chacun ( $10000$ incréments par tour moteur). Données de l'énoncé, exigences du constructeur : vitesse de déplacement rapide au moins $30 m mi n^{- 1}$ ; résolution de mesure de la position de la table au plus $1 μ m$ .

1) Établir la vitesse de la table $v$ et la résolution $δ$ (déplacement de la table pour un incrément) en fonction de $k$ , $p$ , de la fréquence de rotation du moteur et du nombre d'incréments.

2) Calculer $v_{m a x}$ (en $m mi n^{- 1}$ ) et $δ$ pour $k = 1/2$ , $k = 1$ et $k = 2$ . Conclure pour chacun.

3) Montrer que le rapport $v_{m a x} / δ$ ne dépend pas de $k$ ni de $p$ , et en déduire qu'un seul rapport satisfait les deux exigences. Que vaut la marge ?

4) Le bureau d'études remplace le codeur par un modèle de $5000$ points ( $20000$ incréments). Quels rapports conviennent alors ? Proposer un choix et chiffrer ses marges.

Corrigé

La stratégie. Deux exigences portent sur la même chaîne de transmission, l'une vers le haut (vitesse), l'autre vers le bas (résolution) : on écrit les deux en fonction du rapport à choisir et l'on cherche leur intersection.

1) Les deux lois. Une liaison hélicoïdale de pas $p$ fait avancer l'écrou de $p$ par tour de vis : $v = p n_{vis}$ , avec $n_{vis}$ en tours par seconde ; et $n_{vis} = k n_{moteur}$ . Donc $v = k p n_{moteur}$ . Un incrément correspond à $1/10 000$ de tour moteur, donc à $k /10 000$ de tour de vis et à un déplacement $δ = \frac{k p}{10 000}$ .

2) Valeurs (moteur à $3000 tr mi n^{- 1}$ , $p = 10 mm$ ) :

$k = 1/2$ : $v_{m a x} = 0, 5 \times 0, 010 \times 3000 = 15 m mi n^{- 1}$ ✗, $δ = 0, 5 μ m$ ✓ ;
$k = 1$ : $v_{m a x} = 30 m mi n^{- 1}$ ✓, $δ = 1, 0 μ m$ ✓ ;
$k = 2$ : $v_{m a x} = 60 m mi n^{- 1}$ ✓, $δ = 2, 0 μ m$ ✗.

3) Un seul rapport. $\frac{v _{m a x}}{δ} = \frac{k p n _{m a x}}{k p /10 000} = 10000 n_{m a x} = 10000 \times 50 = 5 \cdot 1 0^{5} s^{- 1}$ : le produit $k p$ s'élimine. Les exigences demandent $\frac{v _{m a x}}{δ} \geq \frac{0 , 5 m s ^{- 1}}{1 \cdot 1 0 ^{- 6} m} = 5 \cdot 1 0^{5} s^{- 1}$ : exactement la valeur disponible. Il n'existe donc qu'un seul produit $k p$ convenable, $k p = 10 mm$ par tour moteur, ici $k = 1$ (entraînement direct), et les deux exigences sont tenues sans aucune marge. Changer le pas de la vis n'y change rien : seuls la vitesse du moteur et la finesse du codeur ouvrent de l'espace.

4) Codeur plus fin. Avec $20000$ incréments : $δ = k p /20 000 \leq 1 μ m$ donne $k \leq 2$ , et $v_{m a x} \geq 30 m mi n^{- 1}$ donne toujours $k \geq 1$ . Tout rapport de $1$ à $2$ convient ; au milieu, $k = 1, 5$ : $v_{m a x} = 45 m mi n^{- 1}$ (marge $50 %$ ) et $δ = 0, 75 μ m$ (marge $25 %$ ). Une courroie qui multiplie la vitesse est rare ; le choix réaliste est souvent $k = 1$ , avec la marge reportée sur la résolution ( $0, 5 μ m$ ).

Ce que l'exercice installe. La liaison hélicoïdale transforme une rotation en translation : $v = p n$ . Quand deux exigences opposées portent sur un même paramètre, on les écrit toutes les deux et l'on cherche l'intervalle commun ; s'il se réduit à un point, la conception est sans marge, et il faut agir sur un autre constituant (ici le capteur).

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