sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Chariot autoguidé d'entrepôt : deux roues motrices et une roulette

Géométrie et Cinématique des Mécanismes · B. Le torseur cinématique et formule du champ des vitesses (Varignon) · niveau 2

Énoncé

Un chariot autoguidé (châssis $1$ ) roule sur le sol $0$ horizontal. Il porte deux roues motrices de rayon $r = 0, 10 m$ , droite $2$ et gauche $3$ , d'axe commun $(O, y_{1})$ , distantes de $e = 0, 50 m$ (voie), entraînées chacune par un moteur à travers un réducteur de rapport $1/20$ ; leurs vitesses de rotation par rapport au châssis sont $ω_{d}$ et $ω_{g}$ , comptées positivement en marche avant. $O$ est le milieu de l'essieu, $x_{1}$ pointe vers l'avant, $z_{1} = z_{0}$ est vertical. À l'avant, en $C$ tel que $O C = 0, 40 x_{1}$ , une roulette folle à chape pivotante assure le troisième appui. Les moteurs tournent au plus à $3000 tr mi n^{- 1}$ . On suppose que les roues roulent sans glisser. Données de l'énoncé, exigences de l'exploitant : vitesse inférieure à $1, 5 m s^{- 1}$ dans les allées ; aux croisements, virage de rayon $1, 2 m$ ou moins à $1, 2 m s^{- 1}$ .

1) En écrivant le roulement sans glissement en $I_{d}$ et $I_{g}$ (points de contact au sol) et la composition des vitesses, établir la vitesse $v$ de $O$ et le taux de rotation $Ω$ du châssis : $v = \frac{r ( ω _{d} + ω _{g} )}{2}$ , $Ω = \frac{r ( ω _{d} - ω _{g} )}{e}$ ( $V (O \in 1/0) = v x_{1}$ , $Ω (1/0) = Ω z_{0}$ ).

2) Quelle est la vitesse maximale en ligne droite ? Conclure sur l'exigence d'allée, et proposer une correction.

3) Le chariot décrit un virage de rayon $1, 0 m$ (centre à gauche) à $1, 0 m s^{- 1}$ . Calculer $Ω$ , $ω_{d}$ , $ω_{g}$ et les fréquences de rotation des moteurs. Où est le point du châssis de vitesse nulle ?

4) Calculer par la formule de Varignon la vitesse du point $C$ dans ce virage. Comment s'oriente la chape de la roulette, et pourquoi ?

5) Les moteurs étant bridés à la valeur trouvée en 2), quel est le plus petit rayon de virage possible à $1, 2 m s^{- 1}$ ? Conclure sur l'exigence de croisement. Cas limite : que donne la commande $ω_{g} = - ω_{d}$ ?

Corrigé

La stratégie. Le châssis est un solide : son mouvement plan sur le sol est décrit par un torseur cinématique à deux composantes utiles, $Ω$ et $v$ . Chaque roue fournit une condition de contact. On combine composition des vitesses (roue par rapport au châssis, châssis par rapport au sol) et Varignon (d'un point du châssis à un autre).

1) Les deux relations. Au contact $I_{d}$ , roulement sans glissement : $V (I_{d} \in 2/0) = 0$ . Par composition, $V (I_{d} \in 2/0) = V (I_{d} \in 2/1) + V (I_{d} \in 1/0)$ . La roue tourne autour de son axe fixe dans le châssis : $V (I_{d} \in 2/1) = ω_{d} y_{1} \land (- r z_{0}) = - r ω_{d} x_{1}$ . Donc $V (I_{d} \in 1/0) = r ω_{d} x_{1}$ . Par Varignon, avec $O I_{d} = - \frac{e}{2} y_{1} - r z_{0}$ : $V (I_{d} \in 1/0) = v x_{1} + Ω z_{0} \land (- \frac{e}{2} y_{1}) = (v + Ω \frac{e}{2}) x_{1}$ . De même à gauche, $O I_{g} = + \frac{e}{2} y_{1} - r z_{0}$ donne $v - Ω \frac{e}{2} = r ω_{g}$ . On en tire $v = \frac{r ( ω _{d} + ω _{g} )}{2}, Ω = \frac{r ( ω _{d} - ω _{g} )}{e} .$ La roue droite plus rapide fait tourner le chariot vers la gauche ( $Ω > 0$ ).

2) Vitesse maximale. Moteur à $3000 tr mi n^{- 1}$ : $314, 2 rad s^{- 1}$ , roue à $314, 2/20 = 15, 71 rad s^{- 1}$ ; en ligne droite ( $ω_{d} = ω_{g}$ ), $v = r ω = 1, 57 m s^{- 1}$ . Non conforme ( $1, 5 m s^{- 1}$ ). Correction logicielle : brider la consigne des moteurs à $3000 \times 1, 5/1, 571 = 2865 tr mi n^{- 1}$ , soit $15, 0 rad s^{- 1}$ à la roue.

3) Virage. Rayon $1, 0 m$ à $1, 0 m s^{- 1}$ : $Ω = v / R_{v} = 1, 0 rad s^{- 1}$ . Puis $ω_{d} = (v + Ω e /2) / r = (1 + 0, 25) /0, 10 = 12, 5 rad s^{- 1}$ et $ω_{g} = (1 - 0, 25) /0, 10 = 7, 5 rad s^{- 1}$ ; moteurs à $12, 5 \times 20 \times 60/2 π = 2387$ et $1432 tr mi n^{- 1}$ . Le point $P$ du châssis de vitesse nulle vérifie $0 = v x_{1} + Ω z_{0} \land O P$ : $O P = \frac{v}{Ω} y_{1} = 1, 0 y_{1}$ , sur l'axe de l'essieu, à gauche : c'est le centre du virage, comme attendu.

4) La roulette. $V (C \in 1/0) = V (O \in 1/0) + Ω \land O C = 1, 0 x_{1} + 1, 0 z_{0} \land 0, 40 x_{1} = 1, 0 x_{1} + 0, 40 y_{1}$ (en $m s^{- 1}$ ), de norme $1, 08 m s^{- 1}$ . La roulette roule sans glisser : la vitesse du point d'attache de sa roue ne peut avoir de composante perpendiculaire au plan de la roue. La chape, libre de pivoter, s'oriente donc dans la direction de $V (C)$ , à $arctan 0, 40 = 21, 8^{\circ}$ de l'axe du chariot, vers l'intérieur du virage (c'est aussi la direction perpendiculaire à $P C$ , $P$ étant le centre du virage).

5) Rayon minimal. Bridée, chaque roue tourne au plus à $15, 0 rad s^{- 1}$ , soit $1, 5 m s^{- 1}$ au contact. Dans un virage à gauche, c'est la roue droite, extérieure, qui sature : $v + Ω e /2 = 1, 5$ , d'où à $v = 1, 2 m s^{- 1}$ : $Ω = 2 (1, 5 - 1, 2) /0, 50 = 1, 2 rad s^{- 1}$ et $R_{m i n} = v /Ω = 1, 0 m$ . Conforme : $1, 0 m$ pour $1, 2 m$ exigé ; l'accélération centripète vaut alors $v Ω = 1, 44 m s^{- 2}$ , à surveiller pour une charge haute. Cas limite : $ω_{g} = - ω_{d}$ donne $v = 0$ et $Ω = 2 r ω_{d} / e$ , jusqu'à $6, 0 rad s^{- 1}$ : le chariot pivote sur place autour de $O$ ; son torseur cinématique en $O$ se réduit à ${Ω z_{0}, 0}$ , et la roulette part perpendiculairement à l'axe du chariot (à $2, 4 m s^{- 1}$ au maximum), après avoir pivoté de $9 0^{\circ}$ sur sa chape.

Ce que l'exercice installe. Le roulement sans glissement s'écrit $V (I \in roue / sol) = 0$ ; combiné à la composition des vitesses, il donne la vitesse d'un point du porteur. Deux conditions de contact fixent le torseur cinématique d'un châssis plan ; la formule de Varignon donne ensuite la vitesse de n'importe quel point, et le point de vitesse nulle se trouve par la même formule. Une saturation d'actionneur se traduit en limite de trajectoire.

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