sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Démarreur de voiture à réducteur épicycloïdal : pourquoi une roue libre

Géométrie et Cinématique des Mécanismes · B. Le torseur cinématique et formule du champ des vitesses (Varignon) · niveau 2

Énoncé

Le démarreur d'un moteur thermique comprend un moteur électrique (induit), un réducteur épicycloïdal et un lanceur. Le train épicycloïdal comporte un planétaire $P$ de $Z_{P} = 12$ dents, solidaire de l'induit ; trois satellites $S$ de $Z_{S} = 15$ dents, en pivot sur un porte-satellites $P S$ ; une couronne $C$ à denture intérieure de $Z_{C} = 42$ dents, fixe (liée au carter). Le porte-satellites entraîne, à travers une roue libre, un pignon de $9$ dents qui engrène avec la couronne dentée du volant moteur ( $135$ dents). On donne la relation de Willis : pour ce train, en notant $ω$ les vitesses de rotation par rapport au carter, $\frac{ω _{C} - ω _{P S}}{ω _{P} - ω _{P S}} = - \frac{Z _{P}}{Z _{C}},$ qui s'obtient en se plaçant dans le repère du porte-satellites, où le train redevient un train ordinaire. Données de l'énoncé, exigences : l'induit tourne à $12000 tr mi n^{- 1}$ pendant le lancement ; le vilebrequin doit être entraîné à au moins $150 tr mi n^{- 1}$ pour que le moteur démarre.

1) Justifier les deux conditions géométriques que doivent vérifier les nombres de dents : $Z_{C} = Z_{P} + 2 Z_{S}$ (dentures de même module) et $(Z_{P} + Z_{C}) /3$ entier (trois satellites également répartis). Sont-elles satisfaites ?

2) La couronne étant fixe, déduire de la relation de Willis le rapport $ω_{P S} / ω_{P}$ .

3) Calculer la fréquence de rotation du vilebrequin pendant le lancement, et conclure sur l'exigence.

4) Vérifier le résultat par le roulement sans glissement : calculer la vitesse de rotation d'un satellite par rapport au carter en écrivant que son point de contact avec la couronne fixe a une vitesse nulle, puis contrôler la vitesse au contact avec le planétaire.

5) Le moteur thermique démarre et monte à $800 tr mi n^{- 1}$ alors que le pignon est encore engrené. Quelle serait la fréquence de rotation de l'induit sans roue libre ? Conclure. Cas limite : que se passe-t-il si la couronne n'est plus bloquée ?

Corrigé

La stratégie. La relation de Willis, donnée, lie trois vitesses ; bloquer la couronne fixe le rapport. On contrôle par une méthode indépendante (roulement sans glissement aux contacts), puis on suit la chaîne dans les deux sens.

1) Conditions géométriques. Deux roues qui engrènent ont le même module $m$ , et le rayon primitif d'une roue vaut $m Z /2$ . Le satellite touche le planétaire et la couronne sur un même rayon : $R_{C} = R_{P} + 2 R_{S}$ , soit $Z_{C} = Z_{P} + 2 Z_{S}$ . Ici $12 + 2 \times 15 = 42$ ✓. Pour monter trois satellites à $12 0^{\circ}$ , il faut que la rotation de $12 0^{\circ}$ du porte-satellites, couronne fixe, amène une dent du planétaire exactement à la place de la précédente ; cela revient à $(Z_{P} + Z_{C}) /3$ entier : $(12 + 42) /3 = 18$ ✓.

2) Rapport du train. Avec $ω_{C} = 0$ : $- ω_{P S} = - \frac{Z _{P}}{Z _{C}} (ω_{P} - ω_{P S})$ , d'où $ω_{P S} (1 + \frac{Z _{P}}{Z _{C}}) = \frac{Z _{P}}{Z _{C}} ω_{P}$ et $\frac{ω _{P S}}{ω _{P}} = \frac{Z _{P}}{Z _{P} + Z _{C}} = \frac{12}{54} = \frac{1}{4 , 5} .$ Le porte-satellites tourne dans le même sens que le planétaire, $4, 5$ fois moins vite.

3) Vilebrequin. $N_{P S} = 12 000/4, 5 = 2667 tr mi n^{- 1}$ . Engrenage extérieur pignon (menant, 9 dents) et couronne du volant (menée, 135 dents) : $N_{V} = N_{P S} \times 9/135 = 2 667/15 = 178 tr mi n^{- 1}$ , en sens inverse du pignon. Rapport global : $1/67, 5$ . Conforme : $178 tr mi n^{- 1}$ pour $150$ exigés, marge $19 %$ .

4) Vérification. Prenons comme unité de longueur $m /2$ (les rayons valent alors les nombres de dents). Le centre d'un satellite est à $12 + 15 = 27$ du centre et tourne avec le porte-satellites : sa vitesse est $27 ω_{P S}$ . Le point du satellite en contact avec la couronne est à $15$ plus loin ; couronne fixe, roulement sans glissement : $27 ω_{P S} + 15 ω_{S} = 0$ , d'où $ω_{S} = - \frac{27}{15} ω_{P S}$ , soit $N_{S} = - 4800 tr mi n^{- 1}$ (sens opposé). Au contact avec le planétaire, le point du satellite est à $15$ plus près du centre : sa vitesse vaut $27 ω_{P S} - 15 ω_{S} = 27 \times 2667 + 15 \times 4800 = 72000 + 72000 = 144000$ (en unités de $m /2$ par minute fois $2 π$ ), et celle du planétaire $12 \times 12000 = 144000$ : égales, le roulement sans glissement est bien vérifié au second contact. La relation de Willis n'est pas une formule magique : elle résume ces deux conditions de contact.

5) La roue libre. À $800 tr mi n^{- 1}$ du vilebrequin, le volant entraîne le pignon à $800 \times 135/9 = 12000 tr mi n^{- 1}$ ; sans roue libre, le porte-satellites tournerait aussi vite et le train, multiplicateur dans ce sens, porterait l'induit à $12000 \times 4, 5 = 54000 tr mi n^{- 1}$ , quatre fois et demie sa vitesse de service : les forces d'inertie arracheraient le bobinage. La roue libre du lanceur découple le pignon dès qu'il est entraîné plus vite que le porte-satellites. Cas limite : couronne libre, la relation de Willis lie toujours trois vitesses, mais aucune n'est imposée en dehors de $ω_{P}$ ; sous le couple résistant du vilebrequin, le porte-satellites reste immobile et la couronne tourne à $ω_{C} = - \frac{Z _{P}}{Z _{C}} ω_{P} = - 3430 tr mi n^{- 1}$ : rien n'est transmis. Un train épicycloïdal n'a un rapport déterminé que si l'un de ses trois éléments est imposé.

Ce que l'exercice installe. Un train épicycloïdal a un degré de liberté de plus qu'un train ordinaire : la relation de Willis lie trois vitesses, et c'est le blocage d'un élément qui fixe le rapport. On contrôle par le roulement sans glissement aux deux contacts d'un satellite. Les conditions géométriques (rayons, montage) contraignent les nombres de dents. Une transmission se vérifie dans les deux sens : ce qui est un réducteur au démarrage devient un multiplicateur dangereux quand la charge entraîne.

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