Dérivation dans une base mobile, formule de Bour

Le vecteur rotation est $\overrightarrow{\Omega }({\mathcal{R}}_1/{\mathcal{R}}_0)=\dot{\theta }{\overrightarrow{z}}_0$. Dans ${\mathcal{R}}_1$, ${\overrightarrow{x}}_1$ est fixe : la dérivée de $r{\overrightarrow{x}}_1$ y vaut $\dot{r}{\overrightarrow{x}}_1$. Formule de Bour :

$${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}|}_{{\mathcal{R}}_0}=\dot{r}{\overrightarrow{x}}_1+\dot{\theta }{\overrightarrow{z}}_0\wedge r{\overrightarrow{x}}_1=\dot{r}{\overrightarrow{x}}_1+r\dot{\theta }{\overrightarrow{y}}_1.$$

Vérification : $\overrightarrow{u}=r\cos \theta {\overrightarrow{x}}_0+r\sin \theta {\overrightarrow{y}}_0$, dont la dérivée composante par composante est $(\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta ){\overrightarrow{x}}_0+(\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta ){\overrightarrow{y}}_0=\dot{r}{\overrightarrow{x}}_1+r\dot{\theta }{\overrightarrow{y}}_1$. Les deux calculs concordent ; la formule de Bour évite de projeter.