Moteur de moto de course : le piston le plus rapide n'est pas à mi-course

La stratégie. La fermeture $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}$, projetée sur les deux axes, donne l'angle de la bielle puis la position du piston. Vitesse et accélération s'obtiennent en dérivant par rapport au temps, avec $\dot{\theta }=\omega$ constant. Un modèle approché se juge en chiffrant son erreur, pas en le déclarant « suffisant ».

1) Loi géométrique et vitesse moyenne. Notons $\beta$ l'angle de la bielle avec l'axe. La projection de la fermeture sur l'axe perpendiculaire à ${\overrightarrow{x}}_0$ donne $R\sin \theta =L\sin \beta$, soit $\sin \beta =\lambda \sin \theta$ ; sa projection sur ${\overrightarrow{x}}_0$ donne l'abscisse du piston $x_B=R\cos \theta +L\cos \beta =R\cos \theta +L\sqrt{1-{\lambda }^2{\sin }^2\theta }$ (bielle jamais au-delà de la verticale, $\cos \beta >0$). Au point mort haut, $x_B=R+L$ ; le déplacement depuis ce point est $x=R+L-x_B$, ce qui est la formule annoncée. Course : $x(\pi )-x(0)=2R=90\mathrm{mm}$. En un tour, le piston parcourt deux courses ; la vitesse moyenne vaut donc $\bar{v}=2\times 2R\times N/60=4\times 0,045\times 150=27,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Non conforme ($25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ exigés) ; il faudrait $N\le 25\times 60/(4\times 0,045)=8333\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, ou une course plus courte.

2) Vitesse. $\omega =9000\times 2\pi /60=942,5\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. En dérivant : $$v=\dot{x}=R\omega \sin \theta \left(1+\frac{\lambda \cos \theta }{\sqrt{1-{\lambda }^2{\sin }^2\theta }}\right).$$ À $\theta =90^{\circ }$, $\cos \theta =0$ et $v=R\omega =0,045\times 942,5=42,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Vérification par l'équiprojectivité : la bielle est un solide, donc les projections de $\overrightarrow{V}(A)$ et $\overrightarrow{V}(B)$ sur $(AB)$ sont égales. À $90^{\circ }$, $\overrightarrow{V}(A\in 1/0)$ (perpendiculaire à $\overrightarrow{OA}$, de norme $R\omega$) est parallèle à l'axe du cylindre, comme $\overrightarrow{V}(B)$ : la projection commune donne $|V(B)|\cos \beta =R\omega \cos \beta$, donc $|V(B)|=R\omega$. Mais ce n'est pas le maximum : le terme $\lambda \cos \theta$ est positif avant $90^{\circ }$. L'étude numérique de $v(\theta )$ donne un maximum de $44,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à $\theta =73,2^{\circ }$, soit $5\%$ de plus que $R\omega$ : la bielle, inclinée, « ajoute » sa propre rotation à celle de la manivelle dans la première moitié de la descente.

3) Accélération aux points morts. En dérivant encore (calcul exact) : $$\gamma =R{\omega }^2\left[\cos \theta +\lambda \frac{\cos 2\theta +{\lambda }^2{\sin }^4\theta }{(1-{\lambda }^2{\sin }^2\theta {)}^{3/2}}\right].$$ Au point mort haut ($\theta =0$) : $\gamma =R{\omega }^2(1+\lambda )=0,045\times 942,5^2\times \frac{4}{3}=53300\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit $5430g$. Au point mort bas ($\theta =\pi$) : $\gamma =R{\omega }^2(-1+\lambda )=-26650\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ ($2720g$). Les deux valeurs sont exactes (les termes en $\sin \theta$ s'annulent aux points morts). Le piston de $0,35\mathrm{kg}$ demande au point mort haut un effort $m\gamma =0,35\times 53300=18,7\mathrm{kN}$, l'équivalent du poids de près de deux tonnes, alterné $150$ fois par seconde : c'est l'effort d'inertie qui dimensionne la bielle et l'axe de piston à haut régime.

4) Modèle approché. Avec $u={\lambda }^2{\sin }^2\theta \le 1/9$ : $L\left(1-\sqrt{1-u}\right)\approx L\frac{{\lambda }^2{\sin }^2\theta }{2}=\frac{R\lambda }{2}{\sin }^2\theta =\frac{R\lambda }{4}(1-\cos 2\theta )$, d'où la position annoncée ; en dérivant deux fois à $\omega$ constant, $\gamma \approx R{\omega }^2(\cos \theta +\lambda \cos 2\theta )$. L'erreur sur la position ne dépasse pas $0,22\mathrm{mm}$ sur $90\mathrm{mm}$ de course ($0,25\%$) ; sur l'accélération, $808\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit $1,5\%$ du maximum. Le modèle est très bon pour l'ordre de grandeur et le dimensionnement ; il est même exact aux points morts.

5) Le minimum hors du point mort bas. Avec le modèle approché, $\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}\theta }=-R{\omega }^2\sin \theta (1+4\lambda \cos \theta )$ : outre $\theta =0$ et $\pi$, la dérivée s'annule si $\cos \theta =-1/(4\lambda )$, ce qui n'a de solution que pour $\lambda \ge 1/4$. Ici $\cos \theta =-3/4$, $\theta =138,6^{\circ }$, et $\gamma =R{\omega }^2\left(-\frac{1}{4\lambda }-\lambda +\frac{1}{8\lambda }\right)=R{\omega }^2\left(-\frac{1}{8\lambda }-\lambda \right)=-\frac{17}{24}R{\omega }^2=-28310\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Le point mort bas est alors un maximum local de $\gamma$ (le piston « marque un temps » en bas). La loi exacte donne $-27880\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ à $137,6^{\circ }$ : le modèle approché place correctement le phénomène, avec $1,5\%$ d'erreur sur sa valeur. Avec une bielle longue ($\lambda <1/4$), il disparaît.

Ce que l'exercice installe. La fermeture géométrique projetée donne la loi entrée-sortie d'un système bielle-manivelle ; vitesse et accélération se dérivent de la loi exacte. L'équiprojectivité vérifie une vitesse sans calcul. Un modèle approché se valide en chiffrant son erreur et en contrôlant qu'il reproduit les phénomènes qualitatifs. Une exigence sur une vitesse moyenne se traduit en limite de régime.