Portail battant motorisé : la vitesse du vantail n'est pas celle du vérin

La stratégie. Le vérin est le seul organe moteur ; sa longueur est l'entrée, l'angle du vantail est la sortie. On ferme le contour $O\to A\to B\to O$, on obtient $L(\theta )$, on dérive. Le coefficient qui relie $\dot{L}$ à $\dot{\theta }$ a un sens géométrique, et c'est lui qui décide de la vitesse du vantail.

1) Graphe et loi géométrique. Liaisons : pivot d'axe $(O,{\overrightarrow{z}}_0)$ entre $0$ et $1$ ; pivot d'axe $(A,{\overrightarrow{z}}_0)$ entre $0$ et $2$ ; glissière d'axe $(AB)$ entre $2$ et $3$ ; pivot d'axe $(B,{\overrightarrow{z}}_0)$ entre $3$ et $1$. Le graphe forme une seule boucle de quatre liaisons. Le mécanisme est plan ; chaque solide a dans le plan trois paramètres, mais les liaisons en suppriment : le vantail ne garde que $\theta$, et la position du vérin est entièrement fixée par celle de $B$, donc par $\theta$. Un paramètre suffit (le moteur du vérin impose $L$, et donc $\theta$). Fermeture : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=0,14{\overrightarrow{x}}_0-0,14{\overrightarrow{y}}_0+d{\overrightarrow{x}}_1$. En projetant ${\overrightarrow{x}}_1$ dans la base $0$ : $$\overrightarrow{AB}=(0,14+d\cos \theta ){\overrightarrow{x}}_0+(d\sin \theta -0,14){\overrightarrow{y}}_0,$$ $$L^2=(0,14+d\cos \theta {)}^2+(d\sin \theta -0,14{)}^2=d^2+0,0392+0,252(\cos \theta -\sin \theta ),$$ soit $L^2=0,8492+0,252(\cos \theta -\sin \theta )$ en ${\mathrm{m}}^2$. Portail fermé ($\theta =0$) : $L=\sqrt{1,1012}=1,049\mathrm{m}$ ; ouvert ($\theta =90^{\circ }$) : $L=\sqrt{0,5972}=0,773\mathrm{m}$. Le vérin se raccourcit pour ouvrir (il tire le vantail), d'une course de $0,277\mathrm{m}$. Comme $\cos \theta -\sin \theta$ décroît sur $[0;90^{\circ }]$, $L$ est monotone, et le temps d'ouverture est simplement la course divisée par la vitesse de tige : $t=0,277/0,016=17,3\mathrm{s}$.

2) Loi cinématique et bras de levier. En dérivant $L^2$ par rapport au temps : $2L\dot{L}=0,252(-\sin \theta -\cos \theta )\dot{\theta }$, d'où $$\dot{L}=-\frac{0,126(\sin \theta +\cos \theta )}{L(\theta )}\dot{\theta }.$$ La distance de $O$ à la droite $(AB)$ vaut $|\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}|/AB$ ; avec $\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}=d(-0,14\sin \theta -0,14\cos \theta ){\overrightarrow{z}}_0$, on trouve exactement $0,126(\sin \theta +\cos \theta )/L$. Directement : $A$ est fixe, donc $\dot{L}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{V}(B\in 1/0)$, où $\overrightarrow{u}$ est le vecteur unitaire de $\overrightarrow{AB}$ (dérivée d'une norme : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\overrightarrow{AB}|=\overrightarrow{u}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{AB}}{\mathrm{d}t}$, et $B$ est un point du vantail). Par Varignon, $\overrightarrow{V}(B\in 1/0)=\dot{\theta }{\overrightarrow{z}}_0\wedge \overrightarrow{OB}$, donc $\dot{L}=\dot{\theta }\overrightarrow{u}\cdot ({\overrightarrow{z}}_0\wedge \overrightarrow{OB})=\dot{\theta }{\overrightarrow{z}}_0\cdot (\overrightarrow{OB}\wedge \overrightarrow{u})$ : c'est $\dot{\theta }$ multiplié par la distance signée de $O$ à la droite d'action du vérin. La vitesse de tige est la vitesse angulaire multipliée par le bras de levier.

3) Valeurs et conclusion. Avec $b(\theta )=0,126(\sin \theta +\cos \theta )/L(\theta )$ :

• $\theta =0$ : $b=0,126/1,049=0,120\mathrm{m}$ ;
• $\theta =45^{\circ }$ : $b=0,178/0,922=0,193\mathrm{m}$ ;
• $\theta =90^{\circ }$ : $b=0,126/0,773=0,163\mathrm{m}$ ;
• maximum $b=0,198\mathrm{m}$ pour $\theta =57,7^{\circ }$ (étude numérique de la fonction).

La vitesse angulaire $|\dot{\theta }|=0,016/b$ est donc maximale portail fermé : $0,133\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($7,6^{\circ }{\mathrm{s}}^{-1}$), et minimale vers $58^{\circ }$ : $0,081\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'extrémité du vantail, à $2,0\mathrm{m}$ de la charnière, va au plus à $2,0\times 0,133=0,27\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le vérin avance à vitesse constante, mais le vantail démarre vite, ralentit au milieu de la course et réaccélère un peu à la fin.

Conclusion : ouverture en $17,3\mathrm{s}$ pour $20\mathrm{s}$ exigées, conforme (marge $13\%$) ; vitesse maximale $0,27\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ pour $0,30$, conforme (marge $11\%$), atteinte au tout début de l'ouverture et à la fin de la fermeture, précisément là où l'on risque de pincer quelqu'un contre le pilier : c'est là que la notice impose un ralentissement électronique.

4) Chape mal posée. Avec $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=-0,14{\overrightarrow{x}}_0$, la droite $(A^{\prime }B)$ passe par $O$ portail fermé : $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\wedge \overrightarrow{OB}=-0,14d\sin \theta {\overrightarrow{z}}_0$ est nul en $\theta =0$, donc le bras de levier est nul. La loi cinématique donne $\dot{\theta }=\dot{L}/b$ : une vitesse de tige non nulle exigerait une vitesse angulaire infinie, autrement dit le vérin pousse droit sur la charnière et ne peut pas faire tourner le vantail (point mort ; en statique, il faudrait un effort infini). À $5^{\circ }$, le bras de levier ne vaut encore que $0,011\mathrm{m}$. De plus, la course utile tombe à $1,040-0,911=0,129\mathrm{m}$. C'est pour cela que les notices donnent les deux cotes de pose : la seconde ($0,14\mathrm{m}$ vers l'intérieur) écarte la droite d'action de la charnière.

Ce que l'exercice installe. Une loi entrée-sortie géométrique s'obtient par une fermeture vectorielle projetée dans une base, et la loi cinématique par dérivation. Le coefficient $\mathrm{d}L/\mathrm{d}\theta$ n'est pas un artifice de calcul : c'est la distance de l'axe de rotation à la droite du vérin, qui se lit sur la figure ; elle s'annule au point mort. Un actionneur à vitesse constante ne donne pas une sortie à vitesse constante : on cherche le cas le plus défavorable sur toute la course.