sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Portail coulissant : roue et vis, pignon et crémaillère

Géométrie et Cinématique des Mécanismes · B. Le torseur cinématique et formule du champ des vitesses (Varignon) · niveau 1 (application)

Énoncé

Un portail coulissant de $6, 0 m$ d'ouverture est entraîné par un moteur tournant à $1400 tr mi n^{- 1}$ . Le moteur entraîne une vis sans fin à un filet, qui engrène avec une roue de $Z_{r}$ dents ; la roue est solidaire (même arbre, en tirets sur la figure) d'un pignon de $Z_{p} = 18$ dents, de module $m = 4 mm$ , qui engrène avec une crémaillère fixée sur le portail. Données de l'énoncé, exigence : la vitesse du portail doit être comprise entre $0, 15$ et $0, 20 m s^{- 1}$ (au-dessous, l'ouverture est trop lente ; au-dessus, la norme de sécurité impose des dispositifs supplémentaires).

1) Établir la relation entre la vitesse de rotation de la roue et celle de la vis, puis la vitesse du portail en fonction de $Z_{r}$ .

2) Calculer la vitesse du portail pour $Z_{r} = 25$ , $30$ et $36$ dents, et le temps d'ouverture. Laquelle convient ?

3) Déterminer l'ensemble des nombres de dents de la roue qui satisfont l'exigence.

4) Le fin de course est commandé par un compte-tours sur l'arbre moteur. Combien de tours moteur pour une ouverture complète, avec $Z_{r} = 30$ ? Que deviendrait la vitesse avec une vis à deux filets ?

Corrigé

La stratégie. Des transmetteurs en série : le rapport global est le produit des rapports. Chacun se lit sur sa géométrie : un tour de vis à un filet fait avancer la roue d'une dent ; un tour de pignon fait avancer la crémaillère de son périmètre primitif.

1) Les rapports. À chaque tour, une vis à $n_{f}$ filets fait passer $n_{f}$ dents de la roue : $\frac{ω _{r}}{ω _{v}} = \frac{n _{f}}{Z _{r}} = \frac{1}{Z _{r}}$ . Le pignon a pour rayon primitif $r_{p} = \frac{m Z _{p}}{2} = \frac{4 \times 18}{2} = 36 mm$ ; roulement sans glissement des cercles primitifs sur la ligne de la crémaillère : $v = r_{p} ω_{p}$ . Pignon et roue sont solidaires, $ω_{p} = ω_{r}$ . D'où $v = \frac{r _{p} ω _{m}}{Z _{r}} = \frac{0 , 036 \times 1 400 \times 2 π /60}{Z _{r}} = \frac{5 , 278}{Z _{r}} m s^{- 1} .$

2) Valeurs. $Z_{r} = 25$ : $v = 0, 211 m s^{- 1}$ , ouverture en $28, 4 s$ , non conforme (trop rapide) ; $Z_{r} = 30$ : $v = 0, 176 m s^{- 1}$ , ouverture en $34, 1 s$ , conforme ; $Z_{r} = 36$ : $v = 0, 147 m s^{- 1}$ , $40, 9 s$ , non conforme (trop lent, de peu).

3) L'intervalle. $0, 15 \leq 5, 278/ Z_{r} \leq 0, 20$ équivaut à $26, 4 \leq Z_{r} \leq 35, 2$ : toute roue de 27 à 35 dents convient. $Z_{r} = 30$ est au milieu, avec une marge de $12 %$ vers le haut ( $0, 176$ pour $0, 20$ ) et de $17 %$ vers le bas.

4) Compte-tours et cas limite. Une ouverture correspond à $6, 0/ (2 π \times 0, 036) = 26, 5$ tours de pignon, donc $26, 5 \times 30 = 796$ tours moteur (pour $1400 tr mi n^{- 1}$ , $34 s$ : cohérent). Une vis à deux filets doublerait le rapport : $v = 2 \times 5, 278/30 = 0, 352 m s^{- 1}$ , hors exigence ; il faudrait alors une roue de 53 à 70 dents, bien plus encombrante. Le rapport d'un engrenage roue et vis se règle par le nombre de filets autant que par le nombre de dents.

Ce que l'exercice installe. Le rapport d'une chaîne de transmetteurs en série est le produit des rapports élémentaires : roue et vis $n_{f} / Z_{r}$ , engrenage $Z_{menant} / Z_{men e ˊ}$ , pignon-crémaillère $v = r ω$ avec $r = m Z /2$ . Une exigence encadrée se traduit en intervalle sur le paramètre de conception, et l'on choisit au milieu pour garder une marge des deux côtés.

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