Problème : arbre de prise de force d'un tracteur, le cardan simple n'est pas homocinétique, le double cardan l'est

La stratégie. Le croisillon impose une seule chose : ses deux branches restent perpendiculaires. Une condition de perpendicularité est un produit scalaire nul ; il suffit d'écrire les deux axes de fourche dans une même base, ce que donnent les figures de calcul. On dérive ensuite la loi géométrique, et l'on compose deux joints.

1) Graphe et liaison équivalente. Liaisons : $0$–$1$ pivot d'axe $(O,{\overrightarrow{z}}_0)$ ; $0$–$2$ pivot d'axe $(O,{\overrightarrow{z}}_2)$ ; $1$–$3$ pivot d'axe $(O,{\overrightarrow{u}}_1)$ ; $3$–$2$ pivot d'axe $(O,{\overrightarrow{u}}_2)$. Une boucle de quatre liaisons. Entre $1$ et $2$, par le croisillon, les deux pivots sont en série : les torseurs cinématiques s'ajoutent, en $O$, point commun des deux axes, $$\overrightarrow{\Omega }(2/1)={\dot{\phi }}_{13}{\overrightarrow{u}}_1+{\dot{\phi }}_{32}{\overrightarrow{u}}_2,\overrightarrow{V}(O\in 2/1)=\overrightarrow{0}.$$ Deux rotations indépendantes autour d'axes concourants en $O$, aucune translation, et la rotation autour de la normale commune ${\overrightarrow{u}}_1\wedge {\overrightarrow{u}}_2$ interdite : c'est la sphérique à doigt (rotule à doigt) de centre $O$. Elle laisse passer le mouvement de rotation de $1$ à $2$ malgré l'angle des arbres, mais nous allons voir qu'elle ne le transmet pas fidèlement.

2) Loi géométrique. Figure de calcul de la rotation $\alpha$ autour de ${\overrightarrow{x}}_0$ : ${\overrightarrow{y}}_0^{\prime }=\cos \alpha {\overrightarrow{y}}_0+\sin \alpha {\overrightarrow{z}}_0$. Donc $${\overrightarrow{u}}_2=-\sin {\theta }_2{\overrightarrow{x}}_0+\cos {\theta }_2\cos \alpha {\overrightarrow{y}}_0+\cos {\theta }_2\sin \alpha {\overrightarrow{z}}_0.$$ Le croisillon impose ${\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=0$ : $$-\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2\cos \alpha =0⟺\tan {\theta }_2=\cos \alpha \tan {\theta }_1.$$ Les arbres sont alignés en ${\theta }_1=0$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ ; entre ces positions, la sortie retarde puis rattrape l'entrée. Pour $\alpha =30^{\circ }$ : $\tan ({\theta }_1-{\theta }_2{)}_{\max }=\frac{1-0,866}{2\sqrt{0,866}}=0,0720$, soit un écart maximal de $4,1^{\circ }$, atteint vers ${\theta }_1=47^{\circ }$.

3) Loi cinématique. On dérive $\tan {\theta }_2=\cos \alpha \tan {\theta }_1$ par rapport au temps : $\frac{{\dot{\theta }}_2}{{\cos }^2{\theta }_2}=\cos \alpha \frac{{\dot{\theta }}_1}{{\cos }^2{\theta }_1}$, donc $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\cos \alpha \frac{{\cos }^2{\theta }_2}{{\cos }^2{\theta }_1}$ ; avec ${\cos }^2{\theta }_2=\frac{1}{1+{\tan }^2{\theta }_2}=\frac{{\cos }^2{\theta }_1}{{\cos }^2{\theta }_1+{\cos }^2\alpha {\sin }^2{\theta }_1}$ : $$\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{\cos \alpha }{{\cos }^2{\theta }_1+{\cos }^2\alpha {\sin }^2{\theta }_1}=\frac{\cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha {\sin }^2{\theta }_1}.$$ Le rapport varie entre $\cos \alpha$ (en ${\theta }_1=0$) et $\frac{1}{\cos \alpha }$ (en ${\theta }_1=90^{\circ }$), deux fois par tour. La vitesse moyenne de sortie est celle d'entrée (les arbres font le même nombre de tours) ; l'irrégularité vaut donc $\frac{1}{\cos \alpha }-\cos \alpha =\sin \alpha \tan \alpha$ :

• $\alpha =10^{\circ }$ : $0,985$ à $1,015$, $3,1\%$ ;
• $\alpha =20^{\circ }$ : $0,940$ à $1,064$, $12,4\%$ ;
• $\alpha =30^{\circ }$ : $0,866$ à $1,155$, $28,9\%$ : l'outil oscille entre $468$ et $624\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ ;
• $\alpha =45^{\circ }$ : $0,707$ à $1,414$, $70,7\%$.

Un joint seul respecte $5\%$ si $\sin \alpha \tan \alpha \le 0,05$, soit $\alpha \le 12,8^{\circ }$ (résolution numérique) : bien en dessous de l'angle de service.

4) Accélérations angulaires. À $540\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, ${\omega }_1=56,5\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; l'arbre de sortie subit des accélérations angulaires alternées jusqu'à $942\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}$, quatre fois par tour (maximum vers ${\theta }_1=53^{\circ }$ et aux positions symétriques). Pour faire varier ainsi la vitesse d'un rotor de faucheuse, l'arbre doit transmettre des couples alternés proportionnels à son inertie : la transmission vibre, s'use, et peut casser. (Le lien entre couple et accélération angulaire est l'objet de la dynamique ; ici, on retient que l'irrégularité cinématique a un prix mécanique.)

5) Le double cardan. Au premier joint, la fourche de l'arbre $1$ est l'axe « de type ${\overrightarrow{u}}_1$ », celle de l'arbre $2$ l'axe « de type ${\overrightarrow{u}}_2$ ». Si les deux fourches de l'arbre intermédiaire sont dans un même plan, au second joint la fourche de l'arbre $2$ est encore de type ${\overrightarrow{u}}_2$ et celle de l'arbre $4$ de type ${\overrightarrow{u}}_1$ : c'est le même joint, parcouru de la sortie vers l'entrée, d'angle ${\alpha }^{\prime }$, et la loi s'écrit en échangeant les rôles : $\tan {\theta }_2=\cos {\alpha }^{\prime }\tan {\theta }_4$. En composant les deux lois : $$\cos \alpha \tan {\theta }_1=\tan {\theta }_2=\cos {\alpha }^{\prime }\tan {\theta }_4.$$ Si ${\alpha }^{\prime }=\alpha$, alors $\tan {\theta }_4=\tan {\theta }_1$, et par continuité (les deux angles valent $0$ ensemble) ${\theta }_4={\theta }_1$ à chaque instant : la sortie suit exactement l'entrée, l'irrégularité de l'arbre intermédiaire est annulée par le second joint. Montages possibles : arbres d'entrée et de sortie parallèles (montage en Z) ou symétriques (montage en W).

Écarts de montage :

• angles inégaux, $\alpha =30^{\circ }$, ${\alpha }^{\prime }=25^{\circ }$ : $\tan {\theta }_4=\frac{\cos 30^{\circ }}{\cos 25^{\circ }}\tan {\theta }_1=0,956\tan {\theta }_1$ ; le rapport des vitesses varie de $0,956$ à $1,047$, irrégularité $9,1\%$ ✗ ;
• fourches décalées de $90^{\circ }$ : au second joint, la fourche de l'arbre $2$ devient de type ${\overrightarrow{u}}_1$ et la loi est $\tan {\theta }_4=\cos {\alpha }^{\prime }\tan {\theta }_2$ ; avec ${\alpha }^{\prime }=\alpha$, $\tan {\theta }_4={\cos }^2\alpha \tan {\theta }_1$, et le rapport varie de ${\cos }^2\alpha =0,750$ à $1/{\cos }^2\alpha =1,333$ : irrégularité $58,3\%$ ✗, le double de celle d'un joint seul : les deux irrégularités s'ajoutent au lieu de se compenser.

6) Conclusion. Un joint seul à $30^{\circ }$ donne $28,9\%$ d'irrégularité pour $5\%$ admis : non conforme. Le double cardan monté selon les deux règles (angles égaux, fourches de l'arbre intermédiaire dans un même plan) est conforme, avec une irrégularité théoriquement nulle ; c'est pourquoi les notices exigent d'aligner les fourches à l'emmanchement du télescopique et de régler l'attelage pour égaliser les deux angles. Un écart de $5^{\circ }$ entre les angles suffit à sortir de l'exigence. Cas limites : $\alpha \to 0$ : $\cos \alpha \to 1$, la transmission est directe ; $\alpha \to 90^{\circ }$ : $\cos \alpha \to 0$, $\tan {\theta }_2\to 0$ : l'arbre de sortie ne peut plus tourner, le joint se bloque ; bien avant, les accélérations angulaires deviennent inacceptables.

Le résultat obtenu — non-homocinétisme du joint de Cardan et homocinétisme du double cardan. Un joint de Cardan entre deux arbres concourants faisant l'angle $\alpha$ impose $\tan {\theta }_2=\cos \alpha \tan {\theta }_1$ ; le rapport des vitesses de rotation $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{\cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha {\sin }^2{\theta }_1}$ oscille entre $\cos \alpha$ et $1/\cos \alpha$ deux fois par tour : la transmission n'est pas homocinétique. Deux joints montés avec des angles égaux et les fourches de l'arbre intermédiaire dans un même plan donnent ${\theta }_{\text{sortie}}={\theta }_{\text{entreˊe}}$ : le double cardan est homocinétique.

Ce que le problème installe. Une liaison qui impose une perpendicularité se traduit par un produit scalaire nul, calculé dans une base commune grâce aux figures de calcul. La loi entrée-sortie géométrique se dérive en loi cinématique. Un défaut de transmission se compense par un second défaut opposé (même angle, phase convenable), et une erreur de montage peut au contraire le doubler : on vérifie la conformité dans toutes les configurations de montage, pas seulement dans la configuration nominale.