Problème — Complément : robot SCARA, matrice jacobienne et singularités

1. $\overrightarrow{OE}=(L_1\cos {\theta }_1+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)){\overrightarrow{x}}_0+(L_1\sin {\theta }_1+L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)){\overrightarrow{y}}_0$.

2. En dérivant :

$$\left(\begin{array}{c}{\dot{x}}_E\\ {\dot{y}}_E\end{array}\right)=J\left(\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\end{array}\right),J=\left(\begin{array}{cc}-L_1\sin {\theta }_1-L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& -L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ L_1\cos {\theta }_1+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}\right).$$

3. $\det J=L_1{L}_2\sin {\theta }_2$ : il s'annule pour ${\theta }_2=0$ (bras tendu) ou ${\theta }_2=\pi$ (bras replié). Dans ces configurations, les vitesses de $E$ dues aux deux articulations sont colinéaires (perpendiculaires à $\overrightarrow{OE}$) : le robot ne peut plus créer de vitesse selon la direction radiale $\overrightarrow{OE}$, quelles que soient les consignes. Près de ces positions, une petite vitesse radiale demande des vitesses articulaires très grandes : les commandes de robots les évitent. La matrice jacobienne n'est pas au programme ; elle n'est ici que la loi entrée-sortie cinématique écrite sous forme matricielle.