Vitesse et accélération en coordonnées polaires

1. La base $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{z}}_0)$ tourne à $\dot{\theta }{\overrightarrow{z}}_0$ ; par la formule de Bour, $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_r}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_r$. D'où $\overrightarrow{V}(M/{\mathcal{R}}_0)=\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$.

2. En dérivant encore :

$$\overrightarrow{a}(M/{\mathcal{R}}_0)=\ddot{r}{\overrightarrow{u}}_r+\dot{r}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }+(\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }){\overrightarrow{u}}_{\theta }-r{\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{u}}_r=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\overrightarrow{u}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$

Le terme $-r{\dot{\theta }}^2$ est l'accélération centripète ; le terme $2\dot{r}\dot{\theta }$ apparaît dès que le rayon et l'angle varient ensemble.